积分学小结——二重积分、三重积分-线积分、面积分

基本积分表kCkxkdx()1(是常数))1(1)2(1CxdxxCxxdx||ln)3(dxx211)4(Cxarctandxx211)5(Cxarcsinxdxcos)6(Cxsinxdxsin)7(Cxcosxdxxtansec)10(Cxsecxdxxcotcsc)11(Cxcscdxex)12(Cexxdx2cos)8(xdx2secCxtanxdx2sin)9(xdx2cscCxcotdxax)13(CaaxlnCxxdx|cos|lntan)18(Cxxdx|sin|lncot)19(Caxadxxaarctan11)14(22Cxaxaadxxa||ln211)16(22Caxdxxaarcsin1)15(22Caxaxadxax||ln211)17(22点函数)(,)(lim)(10MfMfdMfnii.)()(,],[1badxxfdMfbaR时上区间当.),()(,2DdyxfdMfDR时上区域当积分概念的联系定积分二重积分dvzyxfdMfR),,()(,3时上区域当.),,()(,3dszyxfdMfR时上空间曲线当.),,()(,3SdSzyxfdMfSR时上曲面当曲面积分曲线积分三重积分.),()(,2LdsyxfdMfLR时上平面曲线当曲线积分计算上的联系)(,]),([),()()(21面元素ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)(,),,(),,()()(),(),(2121体元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxzbaLdsdxyxyxfdsyxf))((,1)](,[),(2曲线元素baLdxdxxyxfdxyxf))((,)](,[),(投影线元素xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221)],(,,[),,())((曲面元素dSxyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR)],(,,[),,())((投影面元素dxdy其中dsQPQdyPdxLL)coscos(dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos(理论上的联系1.定积分与不定积分的联系（牛顿--莱布尼茨公式）))()(()()()(xfxFaFbFdxxfba2.二重积分与曲线积分的联系（格林公式）)()(的正向沿LQdyPdxdxdyyPxQLD3.三重积分与曲面积分的联系（高斯公式）RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(的外侧取X-型区域：oaxbxyy=1(x)y=2(x).),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf特点：平行于y轴的直线与区域边界交点不多于两个.,bxa).()(21xyx1212例1.计算,dDyxI其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解：将D看作X-型区域,则:DI21dxyyxd21dx2121321dxxx891221xyx1xxy121xxyxxyOY－型区域为：特点：平行于x轴的直线与区域边界交点不多于两个.xycdx=y1(y)x=y2(y)xyxfyyd),()()(21yy12(,)()()cydDxyyxyyy121221dy例1.计算,dDyxI其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法2.将D看作Y-型区域,则:DIxyxd21dyyyx222121321d2yyy89y22xy21yxyxyOxy1例2改变积分xdyyxfdx1010),(的次序.原式ydxyxfdy1010),(.解积分区域如图.)sin,cos()()(21rdrrrfd1)sin,cos(Drdrdrrf,:1D).()(21r（２）极坐标系下例3.求,122Ddxdyyx其中D：x2+y21解：一般,若D的表达式中含有x2+y2时，考虑用极坐标.0xyx2+y21令x=rcos,y=rsin,则x2+y21的极坐标方程为r=1.由(2)D*:0r1,02Ddxdyyx22110222220sincos1rdrrrd102201rdrrd])(121[21022rdr10232)1(32r32另由几何意义：32)(21122单位球体积Ddyx重积分的应用(1)体积的体积为为底的柱体为顶，以区域以曲面Dyxfz),(DdxdyyxfV.),(设S曲面的方程为：).,(yxfz曲面S的面积为;122dxdyAxyDyzxz(2)曲面积xyzoD1z2z2S1S),(1yxzz),(2yxzzab)(1xyy)(2xyy),(yx如图，,Dxoy面上的投影为闭区域在闭区域),,(:),,(:2211yxzzSyxzzS,),(作直线过点Dyx穿出．穿入，从从21zz先一后二（穿线法）:.]),,([),(),(),(21DyxzyxzDdzzyxfdxdydyxF三重积分的计算其中为三个坐标例1.计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域.解::zyxxddd)1(01021d)21(dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10x481面及平面.,sin,coszzryrx(２)柱面坐标.),sin,cos(),,(dzrdrdzrrfdvzyxf,dzrdrddv.cos,sinsin,cossinrzryrx,sin2ddrdrdvdxdydzzyxf),,(.sin)cos,sinsin,cossin(2ddrdrrrrf(３)球面坐标例.计算三重积分解:在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr020其中与球面dddsind2rrvRrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义niiiiLsfdsyxf10),(lim),(LdyyxQdxyxP),(),(]),(),([lim10iiiniiiiyQxP联系dsQPQdyPdxLL)coscos(计算yydtfdsyxfL22],[),(三代一定)(yyydtQPQdyPdxL]),(),([二代一定(与方向有关)定积分曲线积分二重积分计算计算各种积分之间的联系yytttttfsyxfLd)()()](,)([d),(22则二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化求曲线积分计算方法：（一）如果积分曲线为：(二）如果曲线L的方程为则xxd)(12ybaxxf))(,(y（三）如果曲线L的方程为则xxd)(12ydcyyf)),((例1.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:)10(:2xxyL10xxxxd4110210232)41(121x)155(121上点O(0,0)O1Lxy2xy)1,1(B二、对坐标的曲线积分的计算法L的参数方程为)()(tytxy,:t则（一）tttPd)](),([y)(ttttQd)](),([y)(ty（二）L的方程为,:),(baxxyy则xxxQxxPbad)](,[)](,[yy)(xy（三）如果L的方程为,:),(dcyyx则yyyQyyyPbad]),([)(]),([例.计算其中L为(1)抛物线;10:,:2xxyL(2)抛物线(3)有向折线.:ABOAL解:(1)原式xxd4103(2)原式yyy222(3)原式0)0,1(A)1,1(B2yx2xy10(yyd)410dyyxLD定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有LDyQxPyxyPxQdddd(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,一、格林公式yAxL例.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段,AOD它与L所围原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圆周区域为D,则O3648与路径无关的四个等价命题条件在单连通开区域D上),(),,(yxQyxP具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.LQdyPdxD与路径无关内在)1(CDCQdyPdx闭曲线,0)2(QdyPdxduyxUD使内存在在),()3(xQyPD,)4(内在等价命题关于第二类曲线积分的计算①若曲线封闭，首先考虑使用Green公式②若曲线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封闭，然后再使用Green公式注意：⑴辅助线上的积分应容易计算，⑵辅助线的方向与曲线的方向相一致。③按第二类曲线积分的计算公式直接计算注意：起点和终点的坐标曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分计算联系高斯公式斯托克斯公式主要内容（二）曲面积分Oxyz曲面方程为：yxDyxzyxf)),(,,(对面积的曲面积分的计算法则yxDyxk)(计算dszyx)(,其中为平面5zy被柱面2522yx所截得的部分.例积分曲面:yz5,解投影域：}25|),{(22yxyxDxydxdyzzdSyx221,2dxdydszyx)(故xyDdxdyyyx)5(2xyDdxdyx)5(2rdrrd5020)cos5(2.2125注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧..dd)],(,,[,,dd)],(,,[dd),,(取下侧取上侧xyxyDDyxyxzyxRyxyxzyxRyxzyxR一投影,二代入,三定号对坐标的曲面积分zyzyxPdd),,(则Oxyz.dd],),,([,,dd],),,([取后侧取前侧yzyzDDzyzyzyxPzyzyzyxP,),()2(给出由如果zyxx一投影,二代入,三定号,),()3(给出由如果xzyyxzzyxQdd),,(则xyzO.dd]),,(,[,,dd]),,(,[取左侧取右侧zxzxDDxzzxzyxQxzzxzyxQ一投影,二代入,三定号例计算zdxdy解积分曲面只有一部分，直接计算222zaxy投影区域：222:Dxya的上侧azdxdy222Daxydxdy22200adarrdr323a其中Σ