安徽省中考数学决胜一轮复习-第5章-四边形-第2节-矩形、菱形与正方形课件

安徽中考2014~2018考情分析基础知识梳理中考真题汇编考点详解典例解析针对性练习安徽五年全国真题安徽中考2014~2018考情分析年份考点题型分值难度星级2014矩形(与函数的综合、正方形的性质)选择题8★★★2015矩形(与菱形的综合)选择题4★★2016矩形性质、相似三角形判定、勾股定理填空题5★★★2017矩形性质与三角形面积、轴对称最短路径问题、勾股定理、一个动点问题的综合；正方形性质与直角三角形斜边中线、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、正切值的综合选择、解答4、14★★★★2018正方形性质、函数的图象、图形的平移问题的综合、矩形性质、相似三角形判定、勾股定理选择、填空4、5★★★★说明：由此可以看出，近五年的安徽中考，每年都会考一个有关矩形、菱形、正方形的题目，一般以选择题或填空题的形式出现.2014年考的是一个矩形与函数的综合探究性的题目和一个有关正方形性质的题目，2015年考的是一个矩形菱形的综合题，2016年是一道与折叠问题、勾股定理、相似三角形的判定、矩形的性质，以及与三角形的面积综合的题目.2017年是两道与三角形面积、轴对称最短路径问题，勾股定理、一个动点问题的综合；正方形性质与直角三角形斜边中线、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、正切值的综合.2018年两题，一题是与函数的图象，图形的平移问题的综合；另一题题是矩形性质、相似三角形判定、勾股定理的综合．主要考察了分类讨论的思想．这两题都具有较强的综合性、创新性和探究性，难度大都在中等及以上．由以上可以预测2019年的中考，也会延续近五年的中考，会考1～2个涉及这部分知识的题目．有可能单独考查这部分知识(如单纯考查菱形、矩形、正方形等)，更有可能与其他知识(如全等三角形、相似性、圆、平面直角坐标系、函数等)综合考查，选择题、填空题、解答题的可能性都有，如果是解答题就一定是与其他知识的联合考查或综合考查，难度会在中等以上．基础知识梳理●考点一矩形的性质及判定1．矩形的性质如图，在矩形ABCD中，有如下性质：边：矩形的对边平行且________，即AB∥DC，AD∥BC；AB＝DC，AD＝BC；角：矩形的________个角都是直角，即∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；相等四对角线：矩形的对角线互相平分且________，即OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB＝OC＝OD；矩形既是______对称图形，又是________对称图形，它有______条对称轴；面积＝长×宽＝两对角线分成的每个小三角形的4倍，即S＝ab＝4S△AOB(其中a，b分别是两邻边长)．相等轴中心两2．矩形的判定角：有________个角是直角的________四边形是矩形；有________个角是直角的四边形是矩形；对角线：对角线相等的________四边形是矩形；对角线__________且相等的四边形是矩形．一平行三平行互相平分●考点二菱形的性质及判定1．菱形的性质边：菱形的________条边都相等；对角线：菱形的两条对角线互相________平分，每一条对角线________一组对角；菱形既是______对称图形，又是________对称图形，它有______条对称轴；面积＝底×高＝两对角线乘积的一半．四垂直平分轴中心两2．菱形的判定边：一组________相等的平行四边形是菱形；________条边都相等的四边形是菱形；对角线：对角线互相________的平行四边形是菱形；对角线互相平分且________的四边形是菱形．邻边四垂直垂直●考点三正方形的性质及判定1．正方形的性质边：正方形的对边平行、________相等；角：正方形的________个角都是直角；对角线：正方形的对角线________且互相________平分，每条对角线平分一组对角；正方形既是________对称图形，又是________对称图形，它有________条对称轴；四条边四相等垂直轴中心四面积＝边长2＝12×对角线2.2．正方形的判定边：有一组邻边相等的矩形是正方形；角：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线：对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；既是矩形又是________的四边形是正方形．菱形●考点四平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系一、矩形的性质及判定【例1】(2018·内江)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为()A．31°B．28°C．62°D．56°【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°，∵∠BDC＝62°，∴∠ADB＝90°－62°＝28°，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，根据题意可知∠EBD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠EBD＝28°，∴∠DFE＝∠ADB＋∠EBD＝56°.【答案】D【点拨】此题主要考查了矩形的性质，平行线性质，轴对称的性质，解题的关键是根据轴对称的性质得出∠EBD＝∠CBD＝∠ADB．二、菱形的性质及判定【例2】(2018·天水)如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为__________.【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，AO＝12AC＝3，BO＝12BD＝4，在Rt△ABO中，AB＝5，∴BC＝5，S△ABC＝12AC·BO＝12BC·AE，即AE＝245.【答案】245【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，首先根据菱形的性质可知△ABO是直角三角形及两直角边的长，再根据勾股定理求出AB，然后根据△ABC的面积相等得出答案即可．三、正方形的性质及判定【例3】如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.(1)求证：四边形EDFG是正方形；(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．【解析】(1)连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD，结合AE＝CF可证出△ADE≌△CDF，根据全等三角形的性质可得出DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF＝90°，再根据O为EF的中点、GO＝OD，即可得出GD⊥EF，且GD＝2OD＝EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；(2)过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜22，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．【答案】(1)证明：连接CD，如图1.∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD．在△ADE和△CDF中，AE＝CF，∠A＝∠DCF，AD＝CD，∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，∴△EDF为等腰直角三角形．∵O为EF的中点，GO＝OD，∴GD⊥EF，且GD＝2OD＝EF，∴四边形EDFG是正方形；(2)解：过点D作DE′⊥AC于E′，如图2，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴DE′＝12BC＝2，AB＝42，点E′为AC的中点，∴2≤DE＜22(点E与点E′重合时取等号)，∴4≤S四边形EDFG＝DE2＜8，∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4.【点拨】本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)找出GD⊥EF且GD＝EF；(2)根据正方形的面积公式找出4≤S四边形EDFG＜8.四、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系【例4】在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G，H，使得AE＝CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE.(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；(2)若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．【解析】(1)由矩形的性质和BF＝DH，得出AH＝CF.根据勾股定理得出EH＝FG，同理得EF＝HG，从而证明四边形EFGH为平行四边形；(2)直接设AE为x，表示出则BE，AH的长，利用正切列出方程即可求出AE的长．【答案】(1)证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°.又∵BF＝DH，∴AD＋DH＝BC＋BF，即AH＝CF，在Rt△AEH中，EH＝AE2＋AH2，在Rt△CFG中，FG＝CG2＋CF2，∵AE＝CG，∴EH＝FG.同理得，EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形；(2)解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝1.设AE＝x，则BE＝x＋1，∵在Rt△BEF中，∠BEF＝45°，∴BE＝BF.∵BF＝DH，∴DH＝BE＝x＋1，∴AH＝AD＋DH＝x＋2.∵在Rt△AEH中，tan∠AEH＝2，∴AH＝2AE，∴2＋x＝2x.∴x＝2，即AE＝2.【点拨】证明一个四边形是平行四边形的方法很多，可以分别从边、角、对角线三个方面找关系：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分．结合图形和已知条件，构建全等三角形或寻求相等的线段和角，很容易找到解题的方向．1．(2018·遵义)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD．若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为()A．10B．12C．16D．18C2．(2018·日照)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是()A．AB＝ADB．AC＝BDC．AC⊥BDD．∠ABO＝∠CBOB3．(2018·禹会区二模)如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P为对角线BD上一动点，过点P作PE⊥PA，交直线BC于点E，若△PBE为等腰三角形，则PB的长为_________.2－14．(2018·繁昌县模拟)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝6，CD＝8，E，F分别是边AB，CD的中点，DH⊥BC于H，现有下列结论：①∠CDH＝30°；②EF＝4；③四边形EFCH是菱形；④S△EFC＝3S△BEH.你认为结论正确的有__________.(填写正确的序号)①②③5．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°.(1)求证：∠BAG＝∠CBF；(2)求证：AG＝FG；(3)若GF＝2BG，CF＝2，求AB的长．(1)证明：过C点作CH⊥BF于H点，∵∠CFB＝45°，∴CH＝HF，∵∠ABG＋∠BAG＝90°，∠FBC＋∠ABG＝90°，∴∠BAG＝∠CBF；(2)证明：∵AG⊥BF，CH⊥BF，∴∠AGB＝∠BHC＝90°，在△AGB和△BHC中，∠AGB＝∠BHC，∠BAG＝∠HBC，AB＝BC，∴△AGB≌△BHC，∴AG＝BH，BG＝CH，∵BH＝BG＋GH，∴BH＝HF＋GH＝FG，∴AG＝FG；(3)解：在Rt△CHF中，∠CFB＝45°，∵CF＝2，∴CH＝FH＝1，由(2)可知BG＝CH，AG＝FG，∴BG＝1，∵GF＝2BG，∴FG＝AG＝2，在Rt△ABG中，AB＝AG2＋BG2＝22＋12＝5.中考真题汇编1．(2018·安徽)如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN＝1正方形ABCD的边长为2，对角线AC在直线l上，且点