专升本高等数学模拟试题一

1【模拟试题】一.选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。*1.设函数fxxxx()[)2442，，，gx()是fx()的反函数，则（）A.gxx()2B.gxx()2C.gxx()2D.gxx()2令yfxxxx()()22442xyxy22，反函数为yx2，选B*2.若x0是fx()的极值点，则（）A.fx'()0必定存在，且fx'()00B.fx'()0必定存在，但fx'()0不一定等于零C.fx'()0可能不存在D.fx'()0必定不存在应选C。例：yx在x0处取得极小值，但该函数在x0处不可导，而f'()0不存在*3.设有直线xyz043，则该直线必定（）A.过原点且垂直于x轴B.过原点且平行于x轴C.不过原点，但垂直于x轴D.不过原点，且不平行于x轴直线显然过（0，0，0）点，方向向量为l043，，，x轴的正向方向向量为v100，，，lvlv1040300()，故直线与x轴垂直，故应选A。*4.幂级数axnnn0在点x2处收敛，则级数()10nnna（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与an有关axnnn0在点x2处收敛，推得对x022()，，axnnn00绝对收敛，特别对x01有axannnnnn0001()绝对收敛，故应选A。5.对微分方程yyyex'''32，利用待定系数法求其特解y*时，下面特解设法正确的是（）2A.yAex*B.yAxBex*()C.yAxex*D.yAxex*2二.填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在题中横线上。*6.xxxxxlim/3321_________________.xxxxxxxxxlim/lim/()3323121111117.设yexx12，则y'_________________.*8.设Fxedtntxx()()22，则Fxn()()_________________.解：FxFxedtxeenntxxxx()()()(())'()'12222FxFxxeeexeexeeennxxxxxxxx()()()(())'()'1222244222222*9.dxxxe112ln_________________.解dxxxdxxxeee11121111222ln(ln)lnln232231()10.设zxy12122ln()，则dz()11，_________________.*11.已知ab121211，，，，，，则过点M0111()，，且同时平行于向量a和b的平面的方程为_________________.面的法向量为nabijkijk12121135平面的方程为311510()()()xyz即3510xyz12.微分方程dydxyex32的通解是_________________.*13.幂级数()xnnn1920的收敛区间是_________________.3解：令uxxnnn()()192，uxxnnn122119()()nnnnnnnnuxuxxxxlimlim()()()()()122122199119由()x1912解得，24x，于是收敛区间是()24，14.设aijk2，则与a同方向的单位向量a0_________________.*15.交换二次积分Idxfxydyxx()，201的次序得I_________________.解：积分区域如图所示：D：yxyy，01，于是Idxfxydydyfxydxyyxx()()，，01012(1,1)x1三.解答题：本大题共13个小题，共90分，第16题～第25题每小题6分，第26题～第28题每小题10分，解答时应写出推理，演算步骤。*16.计算xxxdx(arctan)221解：xxxdx(arctan)221xxdxxxdx11222(arctan)1211222dxxxdx()(arctan)(arctan)1211323ln()(arctan)xxc*17.设fxex()12，求hfhfh011lim()()解：hfhfhf0111lim()()'()exexx1311222()418.判定函数yxx323的单调区间19.求由方程yxtdty22010所确定的隐函数yyx()的微分dy*20.设函数fxxfxdxe()ln()1，求fxdxe()1解：设Afxdxe()1，则fxxA()ln，两边求定积分得AfxdxxAdxee()(ln)11(ln)xxxAxAeAe11解得：Ae1，于是fxxe()ln121.判定级数()121nnnn的收敛性，若其收敛，指出是绝对收敛，还是条件收敛？22.设zxyxy223sin，求zxy23.求微分方程yyyxex'''32的通解*24.将函数fxx()arctan2展开为麦克劳林级数解：fxxxxnn'()(arctan)'()221424220()122102nnnnx（1212x）fxfftdtxdxnnnnxx()()'()[()]012210200()()1212212122102100nnnnnnnxnxdxnx即fxxnxnnnn()arctan()21221210211212x25.设ddxfxx()21，求fx'()26.求函数zxy122在条件y120之下的最值。*27.求曲线yxx321()的渐近线解：（1）xxyxxlimlim()321曲线没有水平渐近线5（2）xxyxx11321limlim()，曲线有铅直渐近线x1（3）xxyxxxalimlim()2211xxyaxxxxlimlim()(())321xxxxxxblim()3322212所以曲线有斜渐近线yx2*28.设区域为D：12022xyy，，计算dxdyxyD422解：积分区域如图所示（阴影部分）dxdyxydrrdrD44222120121442212rdr()432212r()yxO6【试题答案】一.1.令yfxxxx()()22442xyxy22，反函数为yx2，选B2.应选C。例：yx在x0处取得极小值，但该函数在x0处不可导，而f'()0不存在3.直线显然过（0，0，0）点，方向向量为l043，，，x轴的正向方向向量为v100，，，lvlv1040300()，故直线与x轴垂直，故应选A。4.axnnn0在点x2处收敛，推得对x022()，，axnnn00绝对收敛，特别对x01有axannnnnn0001()绝对收敛，故应选A。5.rr2320特征根为rr1212，，由此可见1（eeexxx()1）是特征根，于是可设yxAeAxexx*，应选C。二.6.xxxxxxxxxlim/lim/()3323121111117.yexexxxxexxexxxxx'()()'()()()()()1111211122222222228.解：FxFxedtxeenntxxxx()()()(())'()'12222FxFxxeeexeexeeennxxxxxxxx()()()(())'()'12222442222229.解dxxxdxxxeee11121111222ln(ln)lnln232231()10.zxxxy122，zyyxy122dzdxdy()111313，7（dzzxdxzydyy()()()11111，，，）11.平面的法向量为nabijkijk12121135平面的方程为311510()()()xyz即3510xyz12.解：pxqxex()()32，通解为yeqxedxcpxdxpxdx()()(())eeedxcdxxdx323()eedxcxx35()eecxx3515()1523ecexx13.解：令uxxnnn()()192，uxxnnn122119()()nnnnnnnnuxuxxxxlimlim()()()()()122122199119由()x1912解得，24x，于是收敛区间是()24，14.a1126222，aaaijk016162615.解：积分区域如图所示：D：yxyy，01，于是Idxfxydydyfxydxyyxx()()，，01012(1,1)x1三.16.解：xxxdx(arctan)2218xxdxxxdx11222(arctan)1211222dxxxdx()(arctan)(arctan)1211323ln()(arctan)xxc17.解：hfhfhf0111lim()()'()exexx1311222()18.解：yxxxxx'()()'()3333223222xxx222293()()当33x时，y'0，函数单调增加；当x3或x3时，y'0，函数单调减少，故函数的单调递减区间为()()，，33，单调递增区间为()33，19.解：方程两边对x求导（注意yyx()是x的函数）：yxxyyy''22210解得yxyyx'2122dyydxxyyxdx'212220.解：设Afxdxe()1，则fxxA()ln，两边求定积分得AfxdxxAdxee()(ln)11(ln)xxxAxAeAe11解得：Ae1，于是fxxe()ln121.解：（1）先判别级数()112211nnnnnnn的收敛性令unnnnvnn1111122()vnnnn1111发散9unnnnn1211发散（2）由于所给级数是交错级数且1unnnnunn1111221()()2nnulim0由莱布尼兹判别法知，原级数收敛，且是条件收敛。22.解：zxxyy223sin2232zxyyzxyxyy()(sin)4322xyyycos23.先求方程yyy'''320的通解：特征方程为rr2320，特征根为r11，r22，于是齐次方程通解为ycecexx122……（1）方程中的fxxexexx()，其中1不是特征根，可令yaxbex*(