菱形的判定方法

呼和浩特分公司数学教研组呼和浩特产品教研部制1学大个性化辅导教案课题菱形的判定方法学生姓名学生年级学科数学教师姓名学管师姓名咨询师姓名上课时间教案1（）教案2（）教学目标1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．教学重点/难点1．教学重点：菱形的两个判定方法．2．教学难点：判定方法的证明方法及运用．教学过程教师活动学生活动1、上节课作业检查及知识点回顾，解决上节课遗留的问题2、本节课知识点讲解：菱形判定方法：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边均相等的四边形是菱形。3、本节课重点题型讲解分析4、本节课常考知识点对应的题型及解题思路和方法总结一：让学生复习上节课所学内容，回答下列问题来检验学生对上节课知识的掌握程度。（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；（2）菱形的性质1菱形的四条边都相等；性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；二：提出教学过程中的问题2,3并让学生自己探索和回答问题并总结三：学生说出判定菱形的方法（老师在旁指导）知识点总结1．复习（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；（2）菱形的性质1菱形的四条边都相等；性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件）2．【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？3．【探究】（对教材的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，呼和浩特分公司数学教研组呼和浩特产品教研部制2做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？通过演示，容易得到：菱形判定方法1对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．通过探究教材对菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：菱形判定方法2四边都相等的四边形是菱形．菱形判定方法：1.一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3.四条边均相等的四边形是菱形。例题/课上习题一：教师讲授例1（补充）已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥FC．∴∠1=∠2．又∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF．∴EO=FO．∴四边形AFCE是平行四边形．又EF⊥AC，∴AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．※例2（选讲）已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F．求证：四边形CEHF为菱形．略证：易证CF∥EH，CE=EH，在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，在Rt△BDF中，∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以CE=CF．所以，CF=CE=EH，CF∥EH，所以四边形CEHF为菱形．一：选择题1．下列四边形中不一定为菱形的是（）呼和浩特分公司数学教研组呼和浩特产品教研部制3A．对角线相等的平行四边形B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）．A．1种B．2种C．3种D．4种3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和43cmB．4cm和83cmC．8cm和83cmD．4cm和43cm二、学生课堂练习二．填空题4．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）图1图25．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______．7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．四、思考题9．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．呼和浩特分公司数学教研组呼和浩特产品教研部制4DACFHEBKDACFHGEBDACFHGEB课后习题一：课本练习题（略）二：学生自己的辅导资料（同步练习，略）三，开发智力题（一）、七彩题1．（一题多解题）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由．（二）、知识交叉题2．（科内交叉题）如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，再过E，F作EG⊥AC，FH⊥AB，垂足分别为G，H，且EG，FH相交于点K，试说明EF和DK之间的关系．（三）、实际应用题3．菱形以其特殊的对称美而备受人们喜爱，在生产生活中有极其广泛的应用．如图所示是一块长30cm，宽20cm的长方形的瓷砖，E，F，G，H分别是边BC，CD，DA，AB的中点，涂黑部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色．现有一面长4.2m，宽2.8m的墙壁准备贴这种瓷砖，试问：（1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？（四）、经典中考题4．（宜宾）已知：如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．（1）试说明：AE=AF；呼和浩特分公司数学教研组呼和浩特产品教研部制5（2）若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，试说明：△AEF为等边三角形．（五）、探究学习篇1．（结论开放题）如图所示，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且CE=CF．请你仔细观察图，除了菱形自身已经具备的性质和题目中的条件外，请你选取一个角度提出一个问题，并加以说明．2．阅读下列材料，完成后面的问题：如图，在ABCD中，∠BAD的平分线AE与BC相交于点E，∠ABC的平分线BF与AD相交于点F，AE与BF相交于点O，求证：四边形ABEF是菱形．证明：①因为四边形ABCD是平行四边形；②所以AD∥BC；③所以∠ABE+∠BAF=180°；④因为AE，BF分别平分∠BAF，∠ABE；⑤所以∠1=∠2=12∠BAF，∠3=∠4=12∠ABE；⑥所以∠1+∠3=12（∠ABE+∠BAF）=90°；⑦所以∠AOB=90°；⑧所以AE⊥BF；⑨所以四边形ABEF是菱形，问：（1）上述证明是否正确？答：___________；（2）如有错误，在第______步推理错误，应在第_____步后添加如下证明过程：呼和浩特分公司数学教研组呼和浩特产品教研部制6参考答案（一)、1．解法一：四边形CDEF是菱形．理由：如图所示，因为∠1=∠2，∠ACB=90°，DE⊥AB，又BD=BD，所以△CBD≌△EBD，所以CD=DE，因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，所以∠3=∠4．所以CF=CD．所以CF=DE．因为CH⊥AB，DE⊥AB，所以CH∥DE．所以CF//DE．所以四边形CDEF是平行四边形．又因为CF=CD，所以□CDEF是菱形．解法二：四边形CDEF是菱形．理由：如答图20-3-4所示，连结CE交DF于点O．因为∠1=∠2，∠BCD=∠BED=90°，BD=BD，所以△BCD≌△BED．所以BC=BE．呼和浩特分公司数学教研组呼和浩特产品教研部制7又因为∠1=∠2，所以BD⊥CE，且OC=OE．因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，所以∠3=∠4．所以CF=CD．又因为CE⊥DF，所以OF=OD．所以四边形CDEF是平行四边形，又因为DF⊥CE，所以CDEF是菱形．点拨：解法一利用了菱形的定义，解法二利用了“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的方法，本题除以上两种解法外，还可利用“四条边都相等的四边形是菱形”的方法解决，请同学们再进行探讨．(二)、2．解：EF与DK互相垂直平分．理由：因为DE⊥AB，FH⊥AB，所以DE∥FH．因为DF⊥AC，EG⊥AC，所以DF∥EG．所以四边形DEKF是平行四边形．因为AB=AC，所以∠B=∠C．又因为BD=CD，∠BED=∠CFD=90°，所以△BDE≌△CDF，所以DE=DF．所以DEKF是菱形，所以EF与DK互相垂直平分．点拨：要说明EF与DK互相垂直平分，只要说明四边形DEKF是菱形，要说明四边形DEKF是菱形，可先说明四边形DEKF是平行四边形，再说明一组邻边相等即可．(三)、3．解：（1）因为墙壁的总面积为4.2×2.8=11.76（m2），每块瓷砖的面积为0.3×0.2=0.06（m2），所以最少需要贴这种瓷砖11.76÷0.06=196（块）．（2）因为每相邻4块瓷砖构成一个有花纹的菱形（如图），在长4.2m，宽2.8m的墙壁上贴长30cm，宽20cm的长方形瓷砖，可贴4.2÷0.3=14（列），2.8÷0.2=14（行）．因此构成的有花纹的菱形共13列13行，所以有花纹的菱形共13×13=169（个）．同时，白色菱形的个数与瓷砖的块数相同，故有白色菱形196个．从而面积相等的菱形最多有169+196=365（个）．呼和浩特分公司数学教研组呼和浩特产品教研部制8(四)、4．解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD，∠B=∠D，又因为BE=DF，所以△ABE≌△ADF，所以AE=AF．（2）连结AC．因为AB=BC，∠B=60°，所以△ABC是等边三角形，因为E是BC的中点，所以AE⊥BC，所以∠BAE=90°-60°=30°，同理∠DAF=30°．因为∠BAD=180°-∠B=120°，所以∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=60°．又因为AE=AF，所以△AEF是等边三角形．(五）略