二维狭义相对论-黄鹏辉

二维狭义相对论目录二维狭义相对论......................................................................................................................................11一维狭义相对论...........................................................11.1一维洛伦兹变换..............................................................................................................11.2一维狭义相对论速度变换..............................................................................................21.3一维狭义相对论质量公式..............................................................................................31.4一维狭义相对论应用于光子(X方向效应).......................................................................51.4.1一维速度变换应用于光子(X方向光行差效应)....................................................51.4.2一维相对论质量公式应用于光子(X方向多普勒效应)..........................................51.5一维狭义相对论应用于光子(Y方向效应).......................................................................71.5.1一维速度变换应用于光子(Y方向光行差效应)....................................................71.5.2一维相对论质量公式应用于光子(Y方向多普勒效应)..........................................72二维平面旋转相对论.......................................................83二维狭义相对论...........................................................93.1二维洛伦兹变换（几何法）..........................................................................................93.2二维洛伦兹变换（代数法）........................................................................................123.3二维狭义相对论速度变换............................................................................................163.4二维狭义相对论质量公式............................................................................................173.5二维狭义相对论应用于光子.........................................................................................193.5.1二维速度变换应用于光子(二维光行差效应).....................................................193.5.2二维相对论质量公式应用于光子(二维多普勒效应)..........................................204总结....................................................................22二维狭义相对论黄鹏辉中国北京QQ号和邮箱[e-mail]，QQ群69657010摘要在狭义相对论中，推导洛伦兹变换的一个基本假设是两个惯性参考系相互平行于X轴方向运动，因此爱因斯坦的狭义相对论其实应该是一维狭义相对论。但是这个假设并不总是成立的，因为事实上大多数时候两个惯性参考系的相互运动方向可能都不是平行于X轴，而是与X轴之间有个角度。正如费曼所说：当然，其他运动方向也是可能的，但是昀一般性的洛伦兹变换将是相当复杂的(Feynman:Ofcourseotherdirectionsofmotionarepossible,butthemostgeneralLorentzTransformationisrathercomplicated.[11])。本文在考虑了这种角度因素后，推导出了一套新的二维狭义相对论理论，并得到了一系列结论：二维洛伦兹变换、二维速度变换、二维光学多普勒效应等。这些结论可能将对狭义相对论理论和天文物理学带来深远影响。1一维狭义相对论1.1一维洛伦兹变换洛伦兹变换是爱因斯坦狭义相对论的基础，它的推导包括如下几步：1)两个基本假设：相对性原理和光速不变原理[12][13]。2)假设两个惯性参考系I和I′彼此以相对速度v沿X轴做匀速直线运动。如图1所示。（本文所提到的参考系一律指惯性参考系）。Y′vYP(x′,y′,z′,t′)P(x,y,z,t)参考系I参考系I′XX′OO′图1洛伦兹变换是在两个参考系I和I′中观察同一坐标点P3)在两个参考系中观察同一个点P：在参考系I中，P点坐标为(x,y,z,t)；在参考系I′中，P点坐标为(x′,y′,z′,t′)。14)假设在t=t′=0时刻两个参考系的原点重合，在这个时刻，位于原点O或O′的一个光源发出一个光信号。根据光速不变原理，在两个参考系中，这个光信号将以相同的速度c到达P点，但所用的时间间隔不同，分别为t和t′。于是P点的坐标方程为2222)ct(zyx=++和2222)tc(zyx′=′+′+′或0)tc(zyx)ct(zyx22222222=′−′+′+′=−++(1.1.1)因为只在X轴方向有相对运动，应当有y=y′和z=z′，这样，方程(1.1.1)变为2222)tc(x)ct(x′−′=−(1.1.2)5)方程(1.1.2)的线性解就是一维洛伦兹变换[1][2][3][14]。22c/v1vt-xx−=′y′=yz′=z222c/v1)x(v/c-tt−=′(1.1.3)22c/v1tvxx−′+′=y=y′z=z′222c/v1x)(v/ctt−′+′=(1.1.4)6)如果两个参考系相对于Y轴方向运动，那么相应的一维洛伦兹变换就是x′=x22c/v1vt-yy−=′z′=z222c/v1)y(v/c-tt−=′(1.1.5)1.2一维狭义相对论速度变换一维洛伦兹变换(1.1.3)、(1.1.4)、(1.1.5)式可以给出一维速度变换公式。首先，(1.1.3)式可以写成微分形式：22c/v1vdt-dxxd−=′dy′=dydz′=dz222c/v1)dx(v/c-dttd−=′(1.2.1)在参考系I′中，质点速度分量的微分形式为tdxdux′′=′tdyduy′′=′tdzduz′′=′(1.2.2)在本文中，u表示质点的速度，v表示参考系的速度；后面还将用φ表示质点的运动方向，θ表示参考系的运动方向；以区分这两对容易混淆的物理量。在参考系I中，质点速度分量的微分形式为dtdxux=dtdyuy=dtdzuz=(1.2.3)于是，一维速度变换公式就是：2xxxv/cu-1v-uu=′2x22yyv/cu-1c/v1uu−=′2x22zzv/cu-1c/v1uu−=′(1.2.4)22xxxv/cu1vuu′++′=2x22yyv/cu1c/v1uu′+−′=2x22zzv/cu1c/v1uu′+−′=(1.2.5)而合速度u′的值是三个速度分量ux′、uy′、uz′的和：22x22222z2y2x)v/cu-(1)c/v1)(c/u1(-1cuuuu−−=′+′+′=′(1.2.6)(1.2.6)式可以改写为2222222xc/v1c/u1c/u1v/cu-1−′−−=(1.2.7)如果两个参考系相对于Y轴方向运动，那么相应的一维速度变换公式为2y22xxv/cu-1c/v1uu−=′2yyyv/cu-1v-uu=′2y22zzv/cu-1c/v1uu−=′(1.2.8)相应的合速度公式为2222222yc/v1c/u1c/u1v/cu-1−′−−=(1.2.9)(1.2.7)和(1.2.9)式在后面推导质量公式时很有用。1.3一维狭义相对论质量公式得到了一维狭义相对论速度变换公式后，再根据动量守恒定律和能量守恒定律就可以求出相对论质量公式220c/u1mm−=(1.3.1)现在有多种方法推导质量公式(1.3.1)式[5][6][14]，这里介绍一种昀具对称性和启发性的推导方法[4]。3图2在质心系I和参考系I′中观察两个粒子的运动情况如图2所示，假设两个粒子平行相对相对运动。在质心系I中看来，粒子1质量为m1，速度为u1，粒子2质量为m2，速度为u2，两者的运动方向与X轴正向成φ角。另一参粒子1m1u1粒子2m2u2YX质心系I参考系I′O粒子1m′1u′1Y′v粒子2m′2u′2ϕϕ′O′X′考系I′相对于质心系I沿X轴正向的运动速度为v，在参考系I′中看来，粒子1质量为m′1，速度为u′1，粒子2质量为m′2，速度为u′2，两者的运动方向与X′轴正向成φ′角。首先注意到，在质心系I中，质心本身是静止不动的，而且质心系I中各粒子动量之和为零，因此可以列出如下动量守恒方程0umum1122=−(1.3.2)因为参考系I′相对于质心系I沿X轴正向的运动速度为v，那么在参考系I′中看来，就是整个质心系I沿X′轴反向的运动速度为-v，这样可以列出如下动量守恒方程v))(mm(cosumcosum121122−′+′=′′′−′′′ϕϕ(1.3.3)对两个粒子分别应用一维速度变换公式(1.2.4)2111c/v)cosu(1vcosu-cosu-ϕϕϕ−−−=′′2222c/v)cosu(1vcosucosuϕϕϕ−−=′′写成2111c/v)cosu(1vcosucosuϕϕϕ++=′′2222c/v)cosu(1vcosucosuϕϕϕ−−=′′(1.3.4)由(1.3.2)式可得1221u/u/mm=(1.3.5)由(1.3.3)式可得)vcosu(/v)cosu(m/m1221−′′+′′=′′ϕϕ(1.3.6)(1.3.5)/(1.3.6)v)cosu()vcosu(uummmm21122211+′′−′′•=′•′ϕϕ(1.3.7)把(1.3.4)代入(1.3.7)隐去u′1cosφ′和u′2cosφ′2122222211122211)v/ccos(u1)v/ccos(u1v)v/ccos(u1vcosuv)v/ccos(u1vcosuuummmmϕϕϕϕϕϕ+−=+−−−++•=′•′(1.3.8)把(1.2.7)式应用于粒子1和粒子22222222212212211/cu1/cu1/cu1/cu1mmmm′−−•−′−=′•′(1.3.9)注意，(1.3.9)式中含有下标1和下标2的各量，以及带撇