高等数学总结

FROMBODYTOSOUL-1-高等数学第一讲函数、极限和连续一、函数1.函数的概念几种常见函数绝对值函数：符号函数：取整函数：分段函数：最大值最小值函数：2.函数的特性有界性：单调性：奇偶性：周期性：3.反函数与复合函数反函数：复合函数：FROMBODYTOSOUL-2-4.函数的运算5.五大基本初等函数幂函数：指数函数：对数函数：三角函数：反三角函数：注：基本初等函数在其定义域内连续FROMBODYTOSOUL-3-二、数列极限1.数列的定义常用数列的通项公式求和公式：特殊数列的通项公式：2.数列的性质单调性：有界性：3.数列极限的定义4.收敛数列的性质收敛函数的唯一性：收敛函数的有界性：收敛函数的保号性：注：有界数列不一定收敛。5.收敛数列与其子数列的关系子数列：FROMBODYTOSOUL-4-三、函数极限1.函数极限的定义2.函数极限的性质1)函数极限的唯一性2)函数极限的局部保号性3)函数极限的局部有界性3.函数极限与数列极限的关系（海涅定理）四、无穷小与无穷大1.无穷小的定义注：无穷小与函数极限的等价关系2.无穷大的定义注：无穷大与无穷小的关系五、极限运算法则1.两个无穷小之和为无穷小推广：有限个无穷小之和是无穷小2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小FROMBODYTOSOUL-5-推广：有限个无穷小的乘积是无穷小3.函数极限的四则运算法则4.复合函数的极限运算法则六、极限存在准则两个重要极限1.准则一：夹逼准则注：函数和数列都可用，主要问题是放缩2.准则二：单调有界准则注：对于由递推公式表示出的数列，常用数学归纳法和放缩法证明3.两个重要极限七、无穷小的比较1.无穷小比较的定义高阶无穷小：低阶无穷小：等价无穷小：FROMBODYTOSOUL-6-同阶无穷小：k阶无穷小：2.等价无穷小的充分必要条件八、函数的连续性与间断点1.函数的连续性定义（两种）2.函数在某点连续的充分必要条件3.函数在区间上的连续性闭区间：左端点右连续，右端点左连续，且在开区间内处处连续。开区间：开区间内处处连续。4.函数的间断点的定义第一类间断点：第二类间断点：九、连续函数的运算与初等函数的连续性1.连续函数的和差积商在其定义域内连续FROMBODYTOSOUL-7-2.反函数与复合函数的连续性函数连续，则其反函数也连续连续函数的复合函数依然连续注：符合函数的极限运算和函数运算可以交换（p63）不连续函数的复合函数是否连续？3.初等函数的连续性1)基本初等函数在其定义域内连续2)初等函数在其定义区间内连续注：定义区间是指包含于定义域内的区间十、闭区间上连续函数的性质1.闭区间上连续的定义函数在开区间内连续，在左端点右连续，右端点左连续2.有界性定理3.最值定理4.介值定理FROMBODYTOSOUL-8-5.零点定理6.平均值定理FROMBODYTOSOUL-9-第二讲一元函数微分学一、导数1.导数的定义（两种形式）2.单侧导数（导数存在的充分必要条件）3.函数在闭区间【a，b】上的可导性4.导数的几何意义瞬时变化率：切线斜率：5.函数可导性与连续性的关系二、函数的求导法则1.函数的和差积商的求导法则2.反函数的求导法则3.复合函数的求导法则FROMBODYTOSOUL-10-4.幂指函数的求导法则（对数求导法）5.参数方程确定的函数的导数6.基本初等函数的导数公式三、高阶导数1.二阶导数的定义（两种形式）2.常见函数的高阶导数幂函数指数函数对数函数三角函数FROMBODYTOSOUL-11-几个初等函数的n阶导数公式：3.莱布尼兹公式（同二项式定理）四、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数1.隐函数的导数及其二阶导数2.参数方程的导数及其二阶导数五、函数的微分1.函数微分的定义2.微分的几何意义3.基本初等函数的微分公式与微分运算法则FROMBODYTOSOUL-12-第三讲微分中值定理一、微分中值定理1.费马定理（证明）2.罗尔定理（构造函数，划分区间）3.拉格朗日中值定理（构造函数）4.柯西中值定理二、洛必达法则三、泰勒公式1.带皮亚诺余项的泰勒公式2.带拉格朗日余项的泰勒公式3.带皮亚诺余项的麦克劳林公式4.带拉格朗日余项的泰勒公式FROMBODYTOSOUL-13-5.常见函数的泰勒展开式sinXarcsinXtanxarctanXcosXln(1+X)ex(1+X)αFROMBODYTOSOUL-14-第四讲一元函数微分学的几何应用1.函数单调性1)单调性的定义2)判定方法：一阶导数2.函数的凹凸性1)凹凸性的定义2)判定方法：二阶导数3.函数的拐点1)拐点的定义：函数凹弧和凸弧的分界点（x，y）2)判定方法（两种）四、函数的极值与最大值最小值1.函数的极值及其求法1)极值的定义2)必要条件FROMBODYTOSOUL-15-3)第一充分条件：4)第二充分条件：注：极值点只能是驻点或不可导的点2.最大值与最小值1)最值的定义注：函数在开区间（a，b）内的最值只能是极值函数在闭区间【a，b】上的最值可以是区间端点的函数值五、渐近线1.水平渐近线2.铅直渐近线3.斜渐近线六、曲率1.曲率的意义2.曲率及曲率半径计算公式FROMBODYTOSOUL-16-第五讲不定积分一、不定积分的概念与性质1.原函数与不定积分的概念1)原函数的概念2)原函数存在定理：连续函数一定有原函数。3)两点说明：4)不定积分的概念2.基本积分表FROMBODYTOSOUL-17-3.不定积分的性质性质一：性质二：二、换元积分法1.第一类换元法——凑微分法利用基本积分表中的公式和常见的积分公式将多余的因子甩到后面，以至于剩下的容易积出。首先考虑凑微分。若遇上复杂因式，则将复杂部分求导。2.第二类换元法——变量代换1)三角代换及恒等变形后的三角代换2)根式代换3)倒代换4)复杂代换注：换元后最后一定要回代。三、分部积分法——乘积的积分1.公式法积分顺序：反对幂指三2.表格法（高数18讲124页）求导至零，相应积分，交叉相乘，首项为正，正负相间，最后加CFROMBODYTOSOUL-18-四、有理函数的积分1.有理函数的积分假分式：分子最高次数高于分母——长除法分解真分式：分子最高次数低于分母——待定系数法或凑分母的形式2.可化为有理函数的积分举例1)多项式相除思路：首先看能不能凑微分，再看因式分解2)添项拆项后因式分解3)含有三角函数的有理积分思路：首先看能不能凑微分，再恒等变形，最后万能代换（216页）FROMBODYTOSOUL-19-第六讲定积分一、定积分的概念与性质1.定积分的定义2.两个可积的充分条件1)函数在区间上连续2)函数在区间上有界，且只有有限个间断点3.定积分的性质性质一：性质二：性质三：性质四：推论一：推论二：性质五：性质六：二、微积分基本公式1.变限积分函数及其导数FROMBODYTOSOUL-20-2.牛顿——莱布尼兹公式三、定积分的换元法和分布积分法1.定积分的换元法注：换元后必须换限且换元后的函数必须是单值函数2.定积分的分布积分法3.华里士公式四、反常积分1.无穷限的反常积分——三种形式2.无界函数的反常积分——三种形式FROMBODYTOSOUL-21-五、利用被积函数的性质化简积分1.奇偶函数的积分2.周期函数的积分3.具有对称性函数的积分4.变量代换FROMBODYTOSOUL-22-第七讲定积分的应用一、平面图形的面积1.直角坐标情形2.极坐标情形二、旋转体的体积三、函数的平均值FROMBODYTOSOUL-23-第八讲微分方程一、微分方程的基本概念1)微分方程2)微分方程的阶3)微分方程的解4)初始条件（定解条件）二、可分离变量的微分方程三、齐次方程四、一阶线性微分方程1.齐次线性方程2.非齐次线性方程注：非齐次线性方程的通解等于齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解FROMBODYTOSOUL-24-五、可降阶的高阶微分方程三种形式：六、高阶线性微分方程1.二阶线性微分方程两种形式：2.线性微分方程的解的结构1)线性相关与线性无关的定义2)定理一：二阶齐次线性方程的两个解的线性组合也是原方程的解。定理二：二阶齐次线性方程的两个线性无关的特解的线性组合是原方程的通解推论：定理二推广到n阶齐次线性方程FROMBODYTOSOUL-25-定理三：二阶非齐次线性方程的通解等于齐次线性方程的通解加上非齐次的一个特解定理四：（叠加原理）若非齐次线性方程的右端为两个函数的和，即：七、常系数齐次线性微分方程1.二阶常系数齐次线性微分方程特征方程：三种特征根及其通解形式：2.n阶常系数齐次线性微分方程FROMBODYTOSOUL-26-3.二阶常系数非齐次线性微分方程两种形式：FROMBODYTOSOUL-27-第八讲多元函数微分学一、多元函数的基本概念1.平面点集邻域：内点;外点：边界点：聚点：2.多元函数的概念3.多元函数的极限（二重极限）4.多元函数的连续性5.闭区间上多元连续函数的性质1)有界性与最值定理2)介值定理二、偏导数1.偏导数的定义两种形式：FROMBODYTOSOUL-28-2.高阶偏导数四种二阶偏导数：注：两个二阶混合偏导数在区域内连续时必相等三、全微分1.全微分的定义2.可微的条件1)必要条件2)充分条件注：以上可推广到三元函数及以上四、多元复合函数的求导法则链式求导法则：FROMBODYTOSOUL-29-五、隐函数的求导公式1.一个方程的情形1)定理一2)定理二六、多元函数的极值及其求法1.多元函数的极值概念2.多元函数的极值概念3.取极值的条件1)必要条件注：驻点为一阶偏导数为零的点2)充分条件FROMBODYTOSOUL-30-4.条件极值——拉格朗日乘数法FROMBODYTOSOUL-31-第九讲二重积分一、二重积分的概念与性质1.二重积分的定义2.二重积分的性质性质一：性质二：性质三：性质四：性质五（估值定理）：性质六（积分中值定理）：FROMBODYTOSOUL-32-二、二重积分的计算1.直角坐标系情况X型区域：Y型区域：注：将二重积分化为两个一次积分时上限必须大于等于下限。2.极坐标情况注：当积分区域为圆域，且被积函数含有平方、乘积或者分数形式时优先考虑极坐标计算。三、二重积分计算时的对称性1.普通对称性2.轮换对称性