第9章 振动

华南师范大学物理与电信工程学院第九章振动§9.1简谐振动的动力学特征§9.2简谐振动的运动学§9.3简谐振动的能量转换§9.4简谐振动的合成§9.6阻尼振动§9.7受迫振动目录任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.机械振动物体围绕一固定位置往复运动.周期和非周期振动例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等.其运动形式有直线、平面和空间振动.§9.1简谐振动的动力学特征一、简谐运动谐振子作简谐运动的物体.简谐运动复杂振动合成分解简谐运动最简单、最基本的振动.kl0xmoAA弹簧振子的振动00Fx振动的成因b惯性a回复力mk2令xxFm弹簧振子的运动分析xtx222dd得xa2即omakxF具有加速度与位移的大小x成正比,而方向相反特征的振动称为简谐运动alTFP转动正向mglmglMsinsin5，时动力学分析：lgt22ddOAm22ddmglIt2Iml一单摆)cos(mtlg2令glTπ2222ddtlgt22ddlTFP转动正向OAm2Iml思考:在匀加速上升的电梯中有一悬挂的摆,角位移很小时,是否可以看成是简谐振动?二、复摆22ddmglIt2mglI令)5(*lP（C点为质心）转动正向COFlM22sinddMmglIItlgt22dd222ddt)cos(mt2πITmgl角谐振动2π2πmglIITmgl*lP（C点为质心）转动正向CO三、简谐运动的描述和特征xtx222dd（2）简谐运动的动力学描述kxF（1）物体受线性回复力作用平衡位置0x)sin(tAv)cos(tAx（3）简谐运动的运动学描述xa2（4）加速度与位移成正比而方向相反mglI复摆mk弹簧振子lg单摆四、简谐振动的判据1.判断合外力（或合外力矩）与物体离开平衡位置的位移（或角位移）是否成F=-kx的形式。2.判断位移与时间是否满足微分方程：0222xdtxd3.根据物体的运动是否满足方程：)cos(tAx[例1]证明竖直悬挂弹簧的运动是谐振动。x0xxo证明：平衡位置弹簧伸长x0在任意位置x处，合力为：)(0xxkmgFkx物体仍受回复力作用，作谐振动。证货轮处于平衡状态，如图（a)，浮力大小为F=mg，当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点O，竖直向下为x轴正向，如图（b)所示，则当货轮向下偏移x位移时，受合外力为FPF[例2].一远洋货轮，质量为m，浮在水面时其水平截面积为S。设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力，证货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动,并求振动周期。FPC(a)PCF’xox(b)gSxmgF其中F’为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为则货轮所受合外力kxgSxFPF式中k=ρgS为常数，货轮作简谐运动022xmgSdtxd由可得货轮运动的微分方程为22/dtxmdF令，可得其振动周期为mgS/2gSmT/2/2FPC(a)PCF’xox(b)证设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1、x2，则物体受力平衡，有)1(sin2211xkxkmg)2()(sin)(sin111222xxkmgxxkmgF按图（b）所取坐标，物体沿x轴移动位移x时，两弹簧又分别被拉伸x’1和x’2，即x=x’1+x’2,则物体受力为[例3]如图(a)所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1和k2，物体在光滑斜面上振动。（1）证明其运动仍是简谐运动；（2）求系统的振动频率。kxxkkkkF2121将式（1）代入式（2）得)3(2211xkxkF式中为常数，则物体作简谐运动，振动频率为)/(2121kkkkkmkkkkmk)/(212122121讨论:斜面倾角对弹簧作简谐运动及振动的频率均不产生影响。由式（3）得而x=x’1+x’2,，则得到)/,/2211kFxkFx简谐运动的微分方程积分常数，根据初始条件确定)cos(tAx解方程设初始条件为:解得xtx222dd000=时，，vvtxx简谐运动方程§9.2简谐振动的运动学)cos(dd222tAtxa)cos(tAx由得)sin(ddtAtxv其中)arctan()(002020xxAvv简谐运动方程tx图tv图ta图TAA2A2AxvatttAAoooT)cos(tAx0取π2T)2πcos(tA)sin(tAv)πcos(2tA)cos(2tAaT简谐运动方程)π2cos()cos(tTAtAx二振幅maxxAtx图AAxT2Tto)cos(tAx三周期、频率kmTπ2弹簧振子周期π2T周期])(cos[TtA注意tx图AAxT2Ttoπ21T频率Tπ2π2圆频率周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关tx图AAxT2Tto)cos(tAx])(cos[TtA相位的意义:表征任意时刻（t）物体振动状态（相貌）.物体经一周期的振动，相位改变.2πt四相位)cos(tAx相位(位相)tt)()(0tt时，初相位22020vxA00tanxv五常数和的确定A000vvxxt初始条件)sin(tAv)cos(tAx对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.cos0A2π0,0,00vxt已知求讨论xvo)2πcos(tAxtx图AAxT2Tto0sin0Av0sin取2π旋转矢量自Ox轴的原点O作一矢量，使它的模等于振动的振幅A，并使矢量在Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其角速度与振动频率相等，这个矢量就叫做旋转矢量.AA)cos(tAx以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xAo以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xAoxoAcos0Ax0t0x以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xAooAttt)cos(tAxx)cos(2tAa2πtmvvxyOAt)cos(tAxnaaAmv)sin(vtA2nAa端点的运动速度在x轴上投影速度端点的向心加速度在x轴上投影速度xoxy0MMtAPa1.M点运动在x轴投影，为谐振动的运动方程。2.M点速度在x轴投影，为谐振动的速度。3.M点加速度在x轴投影，为谐振动的加速度。结论：2A利用旋转矢量法还可以很容易确定简谐振动的初位相。这种以一个匀速旋转的矢量，在ox轴上的投影来表示简谐振动的方法，称为旋转矢量法。AoxyA0x0v0x0x0x0v0v0a0a0a0a0v旋转矢量法确定初位相。ⅠⅢⅣⅡ0,0vx0,0vx0,0vx0,0vx在第Ⅰ象限在第Ⅳ象限在第Ⅱ象限在第Ⅲ象限oxyA0t2/0Ax00v33AxAvtg//0000xvcos0Axsin0Av几种特特殊位置初位相。oxyA0t00Ax000voxyA00x00v22oxyAoxyAAx000v00x00v2/323用旋转矢量图画简谐运动的图tx讨论相位差：表示两个相位之差（1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间．ttt)()(1212ttt)cos(11tAx)cos(22tAxAx2Atobaat3πTTt61π23π2AbtvAxAoA（2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异（解决振动合成问题）.12)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt0xto同步xto为其它超前落后12txoπ反相例1一质量为0.01kg的物体作简谐运动，其振幅为0.08m，周期为4s，起始时刻物体在x=0.04m处，向ox轴负方向运动（如图）.试求（1）t=1.0s时，物体所处的位置和所受的力；o08.004.004.008.0m/xvo08.004.004.008.0m/xm0400.x代入)cos(tAxA3π3π00v解1s2ππ2Tm08.0As4,m08.0,kg01.0TAm已知0m04000v,.x求（1）Fxt,,s0.13πo08.004.004.008.0m/xvkg01.0ms0.1t代入上式得m069.0xxmkxF2)3π2πcos(08.0txN1070.13可求（1）Fxt,,s0.13π（2）由起始位置运动到x=-0.04m处所需要的最短时间.法一设由起始位置运动到x=-0.04m处所需要的最短时间为to08.004.004.008.0m/xv2π332ππs667.032o08.004.004.008.0m/xv)3π2πcos(08.0tx)3π2πcos(08.004.0t2π321arccosπ)(to08.004.004.008.0m/x法二3π起始时刻时刻tt3πts667.032t1srad2π3π例2如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数，物体的质量.（1）把物体从平衡位置向右拉到处停下后再释放，求简谐运动方程；1mN72.0kg20mm05.0xm05.0x10sm30.0v（3）如果物体在处时速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其运动方程.2A（2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；m/xo0.05ox解（1）11s0.6kg02.0mN72.0mkm05.0022020xxAv0tan00xvπ0或A由旋转矢量图可知0)cos(tAx])s0.6cos[()m05.0(1toxA2A解)cos(tAx)cos(tA21)cos(Axt3π53π或tA3πt由旋转矢量图可知tAsinv1sm26.0（负号表示速度沿轴负方向）Ox2A（2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；解m0707.022020vxA＇1tan00xv＇4π34π或＇ox＇A4π)cos(tAx]4π)s0.6cos[()m0707.0(1tm05.0x10sm30.0v（3）如果物体在处时速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其运动方程.因为，由旋转矢量图可知4π＇00v例题1一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t=0时,位移为6cm，且向x轴正方向运动。求1、振动方程。2、t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度。3、如果在某时刻质点位于x=-6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：设简谐振动