常微分方程主要内容复习

微分方程的基本概念含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程;未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶.能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.微分方程的解、通解与特解如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解.不包含任意常数的解为微分方程特解.可分离变量的微分方程1．定义形如(1)dyfxgydx的方程称为可分离变量的方程.特点--等式右端可以分解成两个函数之积，其中一个只是x的函数，另一个只是y的函数2．解法:10dyfxdxgygy分离变量得两端积分得通解:1dyfxdxgy齐次方程如果一阶微分方程可以化成的形式，则称此方程为齐次微分方程．这类方程的求解分三步进行：（1）将原方程化为方程的形式．（2）作变量代换以为新的未知函数（注意，仍是的函数），就可以把齐次微分方程化为可分离变量的微分方程来求解．d(,)dyfxyxddyyxxddyyxxyuxuux由，得两端求导，得代入方程中，得yuxdyduuxdxdx)(udxduxu这是变量可分离的微分方程．分离变量并积分，得（3）求出积分后，再以代回，便得到所求齐次方程的通解dd()uxuuxyuxyux一阶线性微分方程形如的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)，Q(x)是连续函数，且方程关于y及是一次的，Q(x)是自由项.xydd为一阶线性非齐次方程，，则称如果0)(xQ，即如果0)(xQ为一阶线性齐次方程.d()()(1)dyPxyQxxd()()dyPxyQxxd()0(2)dyPxyx一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下:1.先求(2)0)(ddyxPxy的通解：分离变量后得xxPyyd)(d，的形式，得任意常数写成CxxPyClnd)(lnln化简后，方程(2)的通解为其中C为任意常数.()dxe(3)PxyC，2.利用“常数变易法”求线性非齐次方程(1)的通解：设(4)e)()d(，xxPxCy是方程(1)的解，其中C(x)为待定常数,将(4)式求其对x的导数，得，xxPxxPxCxPxC'xy)d()d(e)()(e)(dd代入方程(1)中，得，)(e)()(e)()(e)()d()d()d(xQxCxPxCxPxC'xxPxxPxxP化简后，得，xxPxQxC'd)(e)()((5)de)()(d)(，CxxQxCxxP将上式积分，得其中C为任意常数.把(5)式代入(4)式中，即得方程(1)的通解为通过把对应的线性齐次方程的通解中的任意常数变易为待定函数，然后求出线性非齐次方程的通解，这种方法称为常数变易法.()d()de(()ed).(6)PxxPxxyQxxC二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线性微分方程二、常系数线性齐次微分方程解的结构三、二阶常系数线性齐次微分方程的解法的方程，称为二阶线性微分方程.当时，方程(1)成为0)(xf称为二阶线性齐次微分方程，当时，方程(1)称为二阶线性非齐次微分方程.0)(xf/形如当系数P(x)、Q(x)分别为常数p、q时，则称方程为二阶常系数线性齐次微分方程，称方程/为二阶常系数线性非齐次微分方程.()()()(1)y''Pxy'Qxyfx()()0(2)y''Pxy'Qxy0(3)y''py'qy()(()0)(4)y''py'qyfxfx定理设y1(x)，y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个解，则也是方程(3)的解，其中C1,C2是任意常数.)()(2211xyCxyCy一、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构定理如果函数y1(x)与y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个线性无关的特解，则就是方程(3)的通解.112212()()(,)yCyxCyxCC为任意常数求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤：1.写出特征方程，并求出特征方程的两个根；2.根据两个特征根的不同情况，按照公式(6)、(7)或(8)写出微分方程的通解.可使用下表:0qypy'y''02qprr两个不相等的实根21rr特征方程:微分方程:两个相等的实根21rr一对共轭复根)0(,21irxrxrCCy21ee21xrxCCy1e)(21)sincos(e21xCxCyx的两个根r1,r2的通解二阶常系数非齐次线形微分方程二阶常系数非齐次线形微分方程的一般形式为：当时，二阶常系数非齐次线形微分方程具有形如的特解，其中是与同次（m次）的多项式，而k按是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2。()ypyqyfx()()xmfxpxe*()kxmyxQxe()mQx()mPx当或时，由欧拉公式知道，和分别是的实部和虚部。而方程具有形如的特解，其中是与同次（m次）的多项式，而k按是不是特征方程的根、是特征方程的单根依次取0或1。方程和的特解分别是（9）式的特解的实部和虚部。()()cosxmfxPxex()sinxmPxex()cosxmPxex()()sinxmfxPxex()()()(cossin)ixxmmPxePxexix()()(9)ixmypyqyPxe*()()kixmyxQxe()mQx()mPx()cosxmypyqyPxex()sinxmypyqyPxex欧拉方程形如的方程称为欧拉方程，其中为常数。欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同。解法：作变量替换将自变量x换成t，则有()1(1)11()nnnnnnxypxypxypyfx12,,npppln,txetx或22222332333211,()1(32)dydydtdydydydydxdtdxxdtdxxdtdtdydydydydxxdtdtdt，同理，有，如果采用记号D表示对自变量t的求导运算则上述结果可以写为将上述变换代入欧拉方程，则可化为以t为自变量的常系数线性微分方程，求出该方程的解后，把t换为，即得欧拉方程的解。ddt23(),(1,(1(2(1(1kkxyDyxyDDyxyDDDxyDDDky）））y,））。lnx