高三数学一轮复习1-2--命题及其关系、充分条件与必要条件

第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件…2019考纲下载…1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．请注意以选择题或填空题为主要题型，一般为容易题或中等题，近两年的新课标高考题多为对充要条件的考查，少数涉及到四种命题及其真假的判断．课前自助餐回归教材1.命题：用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题。判断为的语句叫做真命题。判断为的语句叫做假命题。判断真假真假2.四种命题及其相互关系：若q，则p若¬q，则¬p若¬p，则¬q常见的正面词语和它的否定词语：正面词语等于(＝)大于()小于()能是都(全)是任意的任意两个所有否定词语__________________________________________________________不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不能不是不都(全)是某个某两个某些正面词语至多一个至少有一个至多n个p或qp且q否定词语_______________________________________________________至少两个一个也没有至少有(n＋1)个非p且非q非p或非q3.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.(3)在四种命题中，真命题的个数只能是.相同0,2,43.充分条件与必要条件，记p、q对应的集合为A,B,(1)如果p⇒q，则p是q的条件，(2)如果q⇒p，则p是q的条件；(3)如果p⇒q，但qp，则p是q的条件；(4)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的条件；(5)如果q⇒p，且pq，则p是q的条件；(6)如果pq，且qp，则p是q的既不充分又不必要条件.充分必要充分不必要充要必要不充分注意几种说法：(1)p是q的充分不必要条件p的充分不必要条件是q即：q是p的充分不必要条件,pqqp,qppq(2)p是q的充要条件p的充要条件是q即：q是p的充要条件,qppq充分性必要性1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)语句“2a＋10”是命题．(2)语句“2020≥2019”是真命题．(3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．(4)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(5)p是q的充分不必要条件等价于綈q是綈p的充分不必要条件．答案(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2．(课本习题改编)命题“若a0，则一元二次方程x2＋x＋a＝0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是________．答案2解析当a0时，Δ＝1－4a0，所以方程x2＋x＋a＝0有实数根，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x2＋x＋a＝0有实根，则a0”，因为方程有实根，所以判别式Δ＝1－4a≥0，所以a≤14，显然a0不一定成立，故逆命题为假；根据否命题与逆命题真假一致，可知否命题为假．故正确的命题有2个．3．“a0”是“|a|0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析因为|a|0⇔a0或a0，所以a0⇒|a|0.但|a|0a0，所以a0是|a|0的充分不必要条件．故选A.4．(2018·上海春季高考题)设Sn为数列{an}的前n项和，“{an}是递增数列”是“{Sn}是递增数列”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件答案D解析若an＝2n－10，则S4S3，∴非充分．若an＝1n，则{Sn}递增，此时{an}递减，∴非必要．5．写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若xy＝0，则x，y中至少有一个为零；(2)若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零；(3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等；(4)有理数都能写成分数．答案略解析(1)否定形式：若xy＝0，则x，y都不为零．否命题：若xy≠0，则x，y都不为零．(2)否定形式：若a＋b＝0，则a，b都大于零．否命题：若a＋b≠0，则a，b都大于零．(3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻两个内角不相等．否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻两个内角不相等．(4)否定形式：有理数不都能写成分数．否命题：非有理数不能写成分数.授人以渔题型一四种命题及其真假的判定写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假．(1)末位数字是0的整数是5的整数倍；(2)在△ABC中，若ABAC，则∠C∠B；(3)若x2－2x－30，则x－1或x3；(4)若x2＋y2＝0，则实数x，y全为零．【解析】(1)原命题：若一个整数的末位数字是0，则它是5的整数倍．逆命题：若一个整数是5的整数倍，则它的末位数字是0.否命题：若一个整数的末位数字不是0，则它不是5的整数倍．逆否命题：若一个整数不是5的整数倍，则它的末位数字不是0.这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题．(2)逆命题：在△ABC中，若∠C∠B，则ABAC.否命题：在△ABC中，若AB≤AC，则∠C≤∠B.逆否命题：在△ABC中，若∠C≤∠B，则AB≤AC.这里，四种命题都是真命题．(3)逆命题：若x－1或x3，则x2－2x－30.否命题：若x2－2x－3≤0，则－1≤x≤3.逆否命题：若－1≤x≤3，则x2－2x－3≤0.这里，四种命题都是真命题．(4)逆命题：若实数x，y全为零，则x2＋y2＝0.否命题：若x2＋y2≠0，则实数x，y不全为零．逆否命题：若实数x，y不全为零，则x2＋y2≠0.这里，四种命题都是真命题．【答案】略★状元笔记★写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件p与结论q，将原命题写成“若p，则q”的形式．在本例(2)中，原命题有大前提“在△ABC中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提．本例(3)中“x－1或x3”的否定形式是“x≥－1且x≤3”，即“－1≤x≤3”．思考题1以下命题：①“若f(x)是奇函数，则f(－x)也是奇函数”的逆命题；②“若x，y是偶数，则x＋y也是偶数”的否命题；③“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；④“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的逆否命题．其中真命题的序号是________．【解析】对于④，只需证明原命题为真，∵a＋b＋c＝3，∴(a＋b＋c)2＝9.∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝9，从而3(a2＋b2＋c2)≥9，∴a2＋b2＋c2≥3成立．【答案】①③④题型二充分必要条件的判定(1)判断下列各题中，p是q的什么条件？①p：ab，q：ab－1；②p：ab，q：lgalgb；③p：ab，q：2a2b;④p：ab，q：a2b2.【解析】①p⇒q，pq，∴p是q的充分不必要条件．②q⇒p，pq，∴p是q的必要不充分条件．③p⇒q，且q⇒p，∴p是q的充要条件．④pq，qp，∴p是q的既不充分也不必要条件．【答案】①充分不必要条件②必要不充分条件③充要条件④既不充分也不必要条件(2)判断下列各题中p是q的什么条件？①在△ABC中，p：AB，q：BCAC；②p：x1，q：x21；③p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；④p：ab，q：ab1.【解析】①由三角形中大角对大边可知，若AB，则BCAC；反之，若BCAC，则AB.因此，p是q的充要条件．②由x1可以推出x21；由x21得x－1或x1，不一定有x1.因此p是q的充分不必要条件．③由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此p是q的必要不充分条件．④由于ab，当b0时，ab1；当b0时，ab1，故若ab，不一定有ab1；当b0，ab1时，可以推出ab；当b0，ab1时，可以推出ab.因此p是q的既不充分也不必要条件．【答案】①p是q的充要条件②p是q的充分不必要条件③p是q的必要不充分条件④p是q的既不充分也不必要条件★状元笔记★判断充分必要条件的步骤(1)弄清条件p和结论q分别是什么？(2)尝试p⇒q，q⇒p.(3)充要条件可以融入到数学各个分支，题型灵活多变，但万变不离其宗，只要紧扣定义，结合其他知识，便可迎刃而解．思考题2(1)(2016·天津)设x0，y∈R，则“xy”是“x|y|”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】由xy推不出x|y|，由x|y|能推出xy，所以“xy”是“x|y|”的必要而不充分条件．【答案】C(2)(高考真题·陕西卷)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由cos2α＝cos2α－sin2α知，当sinα＝cosα时，有cos2α＝0，反之，由cos2α＝sin2α不一定有sinα＝cosα，从而“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的充分不必要条件．故选A.【答案】A(3)若集合A＝{x|x2－5x＋40}，B＝{x||x－a|1}，则“a∈(2，3)”是“B⊆A”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】A＝{x|1x4}，B＝{x|a－1xa＋1}．∵B⊆A，∴a－1≥1，a＋1≤4，即2≤a≤3.∵(2，3)⊆[2，3],∴“a∈(2,3)”是“B⊆A”的充分不必要条件．【答案】A题型三充分必要条件的应用已知命题p：x＋2≥0，x－10≤0，命题q：1－m≤x≤1＋m，m0，若綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．【解析】p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m]，m0.∵綈p是綈q的必要而不充分条件，即p⇒q且qp.∴[－2，10][1－m，1＋m]，即m0，1－m≤－2，解得m≥9，1＋m≥10.∴实数m的取值范围是[9，＋∞)．【答案】[9，＋∞)★状元笔记★(1)本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．(2)綈p是綈q的必要非充分条件等价于p是q的充分而非必要条件．思考题3(1)已知p：4x＋m0，q：x2－x－20，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．【解析】∵4x＋m0，∴x－m4，∴p：x－m4.∵x2－x－20，∴x－1或x2.∴q：x－1或x2.∵p⇒q，∴－m4≤－1，∴m≥4.即m的取值范围是[4，＋∞)．【答案】[4，＋∞)(2)已知p：12≤x≤1，q：(x－a)(x－a－1)0，若p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．【解析】綈q：(x－a)(x－a－1)≤0，∴a≤x≤a＋1.由p是綈q的充分不必要条件知：a≤12，a＋1≥1，∴0≤a≤12.【答案】[0，12]1．命题真假的判断．(1)对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明．若判断其为假命题只需举出一个反例．(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表．(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假．2．充分、必要条件的判定方法．(1)定义法．(2)集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q的充要条件．(3)等价命题法：利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时