如何用梅逊公式求传递函数

Monday,March16,20201第四节控制系统的信号流图Monday,March16,20202信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关系。它也是控制系统的一种数学模型。在求复杂系统的传递函数时较为方便。一、信号流图及其等效变换组成：信号流图由节点和支路组成。见下图：信号流图的概念)(1sG)(2sG)(sH)(sR)(sN-+)(sC)(sERE1GPN2GQCH111Monday,March16,20203xyGxyG上图中，两者都具有关系:。支路对节点来说是输出支路，对节点y来说是输入支路。)()()(sxsGsyx节点：节点表示信号，输入节点表示输入信号，输出节点表示输出信号。支路：连接节点之间的线段为支路。支路上箭头方向表示信号传送方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路传输。信号流图的概念Monday,March16,20204信号流图的术语[几个术语]：输出节点(阱点)：只有输入支路的节点。如：X8。混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如：X2,X3,X4,X5,X6,X7。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，起始点和终点都在节点上。若通路与任一节点相交不多于一次，且起点和终点不是同一节点称为开通路。起点在源点，终点在阱点的开通路叫前向通路。输入节点(源点)：只有输出支路的节点。如：X1，X9。1X1G2G1H3G4G2H5G6G7G3H2X3X4X5X6X7X8X9XMonday,March16,20205回路(闭通路)：通路与任一节点相交不多于一次，但起点和终点为同一节点的通路称为回路。互不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路称为互不接触回路。信号流图的术语通路传输(增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前向通路增益。回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回路增益。1X1G2G1H3G4G2H5G6G7G3H2X3X4X5X6X7X8X9XMonday,March16,20206信号流图的等效变换串联支路合并：abab1x2x3x3x1x并联支路的合并：ab1x2xba2x1x回路的消除：a1x2x3x1x2x3xabcbcb1Monday,March16,20207混合支路的清除：ab1x2x3x4xcdadbdacbc1x4x4x4x1x2xabcacbc2x3x3x1x2x自回路的消除：a1x2x3xb1x3x4xab1bbab1x3x4xb11信号流图的等效变换Monday,March16,20208信号流图的性质节点表示系统的变量。一般，节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因果关系。对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流图不是唯一的。信号流图的性质Monday,March16,20209信号流图的绘制[信号流图的绘制]：根据结构图列出系统各环节的拉氏方程，按变量间的数学关系绘制先在结构图上标出节点，如上图所示。然后画出信号流图如下图所示。)(sue)(sug)(suf)(1su)(2su)(sua1G2G3GfG)(s)(sMcuGmG例1：速度控制系统的结构图为：gue1u2uaucM11G2G3GuGmG1fGeu12ac1123um1fMonday,March16,202010例2:已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上图所示。然后画出信号流图如下图所示。1bdelk1gfhmRCV1V2V3ⅠⅡⅢⅣⅤbdemghk)(SClf)(SR1V2V3VMonday,March16,202011信号流图的绘制1bdelk1gfhmRCV1V2V3ⅠⅡⅢⅣⅤ例2:按微分方程拉氏变换后的代数方程所表示的变量间数学关系绘制。如前例所对应的代数方程为:bRlVmVV311fReVhVgVVC3212213kVdVV按方程可绘制信号流图。Monday,March16,202012梅逊公式用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间的总传输。（即总传递函数）其表达式为：nkkkPP11式中：总传输（即总传递函数）；从输入节点到输出节点的前向通道总数；第k个前向通道的总传输；流图特征式；其计算公式为：PnkP二、梅逊增益公式Monday,March16,202013...1fedcbaLLLLLL（正负号间隔）式中：流图中所有不同回路的回路传输之和；所有互不接触回路中，每次取其中两个回路传输乘积之和；aLcbLL所有互不接触回路中，每次取其中三个回路传输乘积之和；fedLLL第k个前向通道的特征余子式；其值为中除去与第k个前向通道接触的回路后的剩余部分。k梅逊公式nkkkPP11Monday,March16,202014梅逊公式||例2-13a[解]：前向通道有一条；有一个回路；ugGGGGPu3211,fuaGGGGGL3211,111321fuaGGGGGLfuukkkgGGGGGGGGGPPsusP321321111111)()()()(susg例2-13a：求速度控制系统的总传输。（不计扰动）nkkkPP1gue1u2uaucM11G2G3GuGmG1fGeu12ac1123um1fMonday,March16,202015梅逊公式||例2-13[解]：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如下：[例2-13]：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算总传递函数。11RsC21---)(sI)(2sI)(1sI)(su)(sui)(suo)(suesC1121R1111iueuu2IouI1I11ab11R21RsC11sC21111iuuIouI1I11R21RsC11sC21Monday,March16,202016图中，有一个前向通道；2221111sCRCRP有三个回路；sCRsCRsCRLa122211111有两个互不接触回路；221212211111sCCRRsCRsCRLLcb2212112221111111sCCRRsCRsCRsCR11（因为三个回路都与前向通道接触。）1)(112122112212111sCRCRCRsCCRRPPkkk总传输为：梅逊公式||例2-13nkkkPP1...1fedcbaLLLLLL（正负号间隔）式中：流图中所有不同回路的回路传输之和；所有互不接触回路中，每次取其中两个回路传输乘积之和；aLcbLL所有互不接触回路中，每次取其中三个回路传输乘积之和；fedLLL1111iueuu2IouI1I11ab11R21RsC11sC21111iuuIouI1I11R21RsC11sC21Monday,March16,202017梅逊公式||例2-13讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该两点合并。使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话，总传输将不一样。不能合并。因为a、b两点的信号值不一样。111iueuu2IouI1Iab11R21RsC11sC21上图中，ui和ue，I1和I，a和b可以合并。1111iueuu2IouI1I11ab11R21RsC11sC21111iuuIouI1I11R21RsC11sC21Monday,March16,202018梅逊公式||例2-14例2-14：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数)()(,)()(sRsEsRsC解：在结构图上标出节点，如上图。然后画出信号流图，如下：++--1G2G3G4G1H2HRECRCE1G2G3G1H2H21HH4GMonday,March16,202019回路有三，分别为：有两个不接触回路，所以：213212311,,HHGGGHGHG213121321231111HHGGHHGGGHGHGLLLcba11211,1HG21312132123111431433212111HHGGHHGGGHGHGHGGGGGGGGPPkkk梅逊公式||例2-14求：前向通道有二，分别为:)()(sRsC,3211GGGP432GGPRCE1G2G3G1H2H21HH4GnkkkPP1Monday,March16,202020梅逊公式||例2-14求：)()(sRsERCE1G2G3G1H2H21HH4G（兰线表示）23111,1HGP不变。1,221432HHGGP（红线表示）2143231HHGGHGP注意：上面讲不变，为什么？是流图特征式，也就是传递函数的特征表达式。对于一个给定的系统，特征表达式总是不变的，可以试着求一下。nkkkPP1Monday,March16,202021梅逊公式注意事项注意：梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益。而输出对混合节点（中间变量）的增益不能直接应用梅森公式。也就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一的支路，而把非输入节点变成输入节点。对此问题有两种方法求其传递函数：一、把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式。二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的传递函数。Monday,March16,202022梅逊公式||例2-15例2-15：数数有几个回路和前向通道。RC111117G1G2G3G4G8G5G6G1H2H148211472114321221HGGGGHGGGGHGGGGHG有四个回路，分别是：14821147211432122,,,HGGGGHGGGGHGGGGHG它们都是互相接触的。43211GGGGP47212GGGGP48213GGGGP43254GGGGP47255GGGGP48256GGGGP4367GGGP4868GGGP472269GGGHGP有九条前向通道，分别是：Monday,March16,202023梅逊公式||例2-15对应的结构图为：--+++++RC5G6G1G2G3G8G4G7G2H1H为节点RC111117G1G2G3G4G8G5G6G1H2H注意：①信号流图与结构图的对应关系；②仔细确定前向通道和回路的个数。作业：2-12，2-13Monday,March16,202024小结信号流图的组成；术语；信号流图的绘制和等效变换；梅逊公式极其应用；信号流图和结构图之间的关系。小结