初中数学知识点梳理(沪教市北综合版)――01数的整除

初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）1初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）导言《初中数学知识点梳理沪教市北综合版》为编者依据沪教版《初中数学》和市北初级中学资优生培训教材《初中数学》的内容综合编撰而成，既吸取了沪教版《初中数学》侧重基础、知识全面的特点，也吸取了市北版《初中数学》拓展广度、延伸深度的特点，实现了两者内容的有机融合，保证了初中数学知识点梳理的基础性、系统性、全面性、拓展性和概括性，能为初中数学的学习提供较好的知识帮助。文中带“（★）”部分为市北版的加深内容，练习带“（★）”部分也为市北版内容。第一章数的整除一、知识结构二、重点和难点重点：会正确地分解素因数，并会求两个正整数的最大公因数和最小公倍数。难点：求两个正整数的最小公倍数。第一节整数和整除1.1整数和整除的意义⑴正整数：用来表示物体个数的数1，2，3，4，5…叫做正整数。初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）2⑵负整数：在正整数1，2，3，4，5…之前添上“-”，得到的数-1，-2，-3，-4，-5…叫做负整数。◆零既不是正整数，也不是负整数。⑶自然数：零和正整数统称为自然数。⑷整数：正整数、零、负整数统称为整数。正整数自然数整数零负整数⑸整除：设a、b是两个整数，且b≠a，若存在整数q，使a＝bq，则称b整除a，或a被b整除，记作b∣a。（★）或者说，如果整数a除以整数b(b≠0）所得的商是整数，那么叫做a被b整除，或b能整除a。整数a除以整数b整数a被整数b整除a÷b整数b整除整数a例1：下列哪一个算式的被除数能被除数整除？28÷710÷35÷4解：因为28÷7＝4，10÷3＝3……1，5÷4＝1.25，所以被除数能被除数整除的是28÷7。◆注意整除的条件：①除数、被除数都是整数；②被除数除以除数，商是整数而且余数为零。◆整除的主要性质：（★）①c∣b、b∣a，则c∣a；②若m∣a、m∣b，则m∣（a＋b）;③若m∣a、m∣b，则m∣（a－b）;④若m∣a，则m∣ab（b为自然－数）;⑤n个连续正整数的积能被n！整除。（n的阶乘：n！＝1×2×3×…×n）（★）初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）3例如：a为整数时，2∣a(a+1)6∣a(a+1)(a+2)24∣a(a+1)(a+2)(a+3)……（★）解：由于4个连续的整数中必有1个数为4的倍数，还有另一个数为2的倍数，有1个是3的倍数，因为a、a+1、a+2、a+3为4个连续的整数，所以，a、a+1、a+2、a+3中必有一个数为4的倍数，另有一个数为2的倍数，有一个数为3的倍数，即为2×3×4=24的倍数。◆整除与除尽的区别：整除：它只在整数氛围内讨论，被除数、除数、商都是整数，余数为零；除尽：未限制数域范围，只是除完后没有余数。练习⑴是否有最小的自然数？⑵是否有最大的整数？⑶把下列各数分别填入相应的括号中。22－60，12，3.14，0，1，－1，－0.618，—7正整数（），负整数（），自然数（），整数（）。⑷下列各式中，哪些式子表示整除？12÷4＝3（）20÷0.5＝40（）35÷7＝5（）45÷45＝1（）4.2÷1.4＝3（）78÷7.8＝10（）⑸2.6÷1.3＝2，能不能说2.6能被1.3整除？⑹如果a表示一个自然数，且a≥2，写出：①紧挨着它，在它后面的两个连续自然数_______________;初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）4②紧挨着它，在它前面的两个连续自然数_______________。⑺下列算式中，哪些是除尽？哪些是整除？42÷7＝6（）3÷5＝0.6（）4÷0.2＝20（）5÷3＝1……2（）8.1÷3＝2.7（）2÷3＝0.66666……（）初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）51.2因数和倍数⑴倍数和因素：如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数(mutiple)，b就叫做a的因数(factor)（或a的约数）。倍数和因数是相互依存的。⑵因素的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。⑶倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。个数最小最大因数有限1它本身倍数无限它本身没有⑷一个数的因素的求法：①列乘法算式或直接用口诀找，即这个数是哪两个数的乘积，注意要找出所有的可能性；②列除法算式找，即这个数所有能整除的整数。例：求18的因素。①乘积是18的算式有：1×18=18，2×9=18，3×6=18，所以，18的因素有1，2，3，6，9，18。②18能整除的算式有：18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，所以，18的因素有1，2，3，6，9，18。⑸一个数的倍数的求法：这个数和任何非零自然数之积都是该数的倍数，所以，求一个数的倍数的方法可以列乘法算式找。◆任何正整数都是1的倍数。练习填空:⑴45÷5=9，()能被()整除，()能整除()；()是()的因数，()是()的倍数。⑵一个正整数a的因数的个数是()，其中最小的一个是()，最大的一个是()；正整数a的倍数的个数是()，其中最小的一个是()。⑶一个数的最小倍数是9，那么这个数的最大因数是()，最小因数是()。⑷有一个数，它既是6的倍数，又是6的因数，这个数是()。初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）61.3数的整除性常见数的倍数特征：⑴2的倍数特征：个位是偶数，即个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。⑵3的倍数特征：一个数的各个数位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。⑶5的倍数特征：个位上是0或5的数，都能被5整除。⑷9的倍数特征：一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。⑸11的倍数特征：一个数的奇位上的数字之和与偶位上的数字之和的差相等或是11的倍数，这个数就能被11整除。⑹7、11、13的倍数特征：一个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差是7、11、13的倍数，这个数就能被7、11、13整除。⑺4或25的倍数特征：一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。⑻8或125的倍数特征：一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。⑼能同时被2,5整除的数的特征:个位是0。⑽能同时被2，3，5整除的数的特征:个位是0，而且各个位上的数字的和能被3整除。⑾能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。例1：一年级72名学生课间加餐共交□52.7□元，□处的数字辨认不清，问每个学生交了多少钱？（★）解：由于72＝8×9，因此，□527□要都能被8、9整除，□527□被8整除，即27□被8整除，从而得出个位数字是2。□527□被9整除，即：□＋5＋2＋7＋2＝□＋7＋9被9整除，从而可得首位是2。所以每人交了：252.72÷72＝3.51(元)。答：每人交了3.51元。例2：要使六位数15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，求A、B、C。（★）解：因为36＝4×9，所以C只可能是1，3，5，7，9。要使商最小，首先A应尽可能小，于是取A＝0，又初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）71＋5＋6＋A＋B＋C＝9＋3＋B＋C能被9整除，即B＋C＋3是9的倍数，C只能是1，3，5，7，9，而B应尽可能小，因此B取1，C取5。答：A、B、C分别是0、1、5。练习1.1（★）1、有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把他们平均分成若干小组，有几种分法？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？2、一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个。小马虎统计错了吗？为什么？3、不超过100的正整数中，能被25整除的数有哪些？不错过1000的正整数中，能被125整除的数有哪些？初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）81.4奇数与偶数（★）⑴奇数与偶数：能被2整除的数叫做偶数(evennumber)；不能被2整除的数叫做奇数(oddnumber)。◆0是偶数。◆自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。◆设n是整数，则：2n是偶数，2n-1或2n+1是奇数；设n是正整数，则：2n是正偶数，2n-1是正奇数。⑵奇数偶数的运算性质：①奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数；②奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数。③奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数。④两个连续整数的和是奇数，积是偶数。⑶推广结论：①奇数个奇数之和是奇数，偶数个奇数之和是偶数，任意有限个偶数之和是偶数。②若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数。③如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个整数都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个整数是偶数。④如果两个整数的和（或差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和（或差）是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶。⑤两个整数的和与差的奇偶性相同。例1：在1，2，…，2008中每个数前面任意添加“＋”、“－”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由。(★)解：因为a－b与a＋b的奇偶性相同，所以将算式中每一个数前的“－”号逐一改成“＋”号，其结果的奇偶性不变，故所求的结果与1＋2＋…＋2008＝1004×2009的奇偶性相同，因此，所求算式的结果为偶数。初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）9例2：将1，2，…，99重新排列成a1，a2，…，a99，求证：乘积(a1－1)(a2－1)…(a99－1)一定是偶数。(★)解：1，2，…，99中有50个奇数，49个偶数，a1，a2，…，a99中也有50个奇数，49个偶数，所以a1，a3，a5，…，a99这50个数中必有一个是奇数，设其中ak是奇数，则：ak－k是两个奇数之差，因而是偶数，所以（a1－1）（a2－1）…（a99－1）一定是偶数。练习1.2(★)1、5个连续偶数的和是320，这五个连续偶数分别是几？2、用15、16、17、18、19这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中有多少个偶数？3、一次舞会有七名男士和七名女士参加,一名男士和一名女士在一起跳为跳一次舞,会后统计出有8人各跳了6次,有5人各跳了3次,问余下的一人至少跳了几次？4、13个不同的自然数之和等于100,其中偶数最多有几个?偶数最少有几个?初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）10第二节分解素因数1.5素数、合数与分解素因数⑴素数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数(primenumber)（或质数）。◆100以内的质数表：100以内共有26个质数，具体为：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。熟记20以内的全部素数。⑵合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数(compositenumber)。◆重点注意：①1既不是质数也不是合数；②2是最小的质数，也是唯一的偶质数；③4是最小的合数；④正整数可以分成质数、合数和1。因此，一个数是质数就一定不是合数，是合数就一定不是质数。⑶素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数(也叫质因数)。例如15=3×5，3和5叫做15的素因数。例1：判断3333334111111是素数还是合数？(★)解：3333334111111＝3333333000000＋1111111＝1111111×3000000＋1111111＝1111111（3000000＋1）＝1111111×3000001所以，3333334111111是合数。例2：桌子上有一堆石子共1001粒，第一步从中扔去一粒石子，并将余下的石子分成两堆。以后的每一步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把这堆分成两堆，试问：能否在若干步以后，使桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？(★)⑴小明：我家的门牌号是最小