平稳时间序列分析-ARMA模型

第三章平稳时间序列分析第二节ARMA模型AR模型（AutoRegressionModel）MA模型（MovingAverageModel）ARMA模型（AutoRegressionMovingAveragemodel）一、AR模型(AutoRegressionModel)具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为特别当时，称为中心化模型tsExtsEVarExxxxtsstttptptpttt,0,0)(,)(0)(0222110，p)(pAR00)(pAR（一）AR模型定义AR(P)序列中心化变换p101ttxy对于非中心化序列01122tttptptxxxx作变换则原序列即化为中心化序列1122tttptptyyyy所以，以后我们重点讨论中心化时间序列。)(pARttxB)(ppBBBB2211)(AR模型的算子表示令则模型可表示为（二）AR模型平稳性判别判别原因：AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的。判别方法：特征根判别法，平稳域判别法。例3.1:考察如下四个模型的平稳性1(1)0.8tttxx1(2)1.1tttxx12(3)0.5ttttxxxttttxxx115.0)4(例3.1平稳序列时序图1(1)0.8tttxx12(3)0.5ttttxxx例3.1非平稳序列时序图1(2)1.1tttxxttttxxx115.0)4(从时序图上可以看出，（1）（3）模型平稳，（2）（4）模型非平稳。（三）AR模型平稳性常用判别方法},,,{21单位根都在单位圆内p特征根判别平稳域判别AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内。根据特征根和算子多项式的根成倒数的性质，AR(p)模型平稳的充要条件是该模型的算子多项式的根都在单位圆外。平稳域为：;1（四）两个常见模型的平稳性条件1、AR(1)模型平稳条件特征根为，平稳条件平稳域为1tttxx1AR(1)模型的平稳性条件也可以如下讨论：对1阶自回归模型AR(1)tttXX1方程两边平方再求数学期望，得到Xt的方差：)(2)()()(122122tttttXEEXEXE由于Xt仅与t相关，因此，E(Xt-1t)=0。如果该模型稳定，则有E(Xt2)=E(Xt-12)，从而上式可变换为：22201X在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有||1。而AR(1)的算子多项式方程：01)(zz的根为z=1/AR(1)稳定，即||1，意味着特征根大于1。2、AR(2)模型平稳条件特征根为22112112124422}11,{12221，且由1122ttttxxx121122,知等价于121,1平稳域2+1=-12+(1+2)=1–(1-1)(1-2)2-1=-12-(1+2)=1–(1+1)(1+2)无论1,2为实数或共轭复数，由11,21都有(11)(12)0，从而得2+112-11且-121事实上，由于平稳域是一个三角形区域。见下图阴影部分。平稳AR(2)过程1,2取值域（阴影部分）回归参数2，1的取值变化分三种情形讨论。（1）当12+42=0时，特征方程有相等实数根。2,1取值在图中的抛物线上，称为临界阻尼状态。(2)当12+420时，特征方程有不等实数根。2,1的值位于过阻尼区（自相关函数呈指数衰减）。(3)当12+420时，特征方程根为共轭复根。2,1的值位于欠阻尼区（自相关函数呈正弦震荡衰减）。AR(2)模型的平稳性也可以如下讨论：对AR(2)模型：ttttXXX2211方程两边同乘以Xt，再取期望得：)(22110ttXE又由于：222211)()()()(tttttttEXEXEXE于是：222110同样地，由原式还可得到：0211212011于是方差为：)1)(1)(1()1(21212220由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有1+21,2-11,|2|1对高阶自回模型AR(p)来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性：(1)AR(p)模型稳定的必要条件是：121p(2)由于可正可负，AR(p)模型稳定的充分条件是：(1,,)iip121p例3.1平稳性判别8.010.81.111.1211i212i221210.5,0.5,1.523112312221210.5,1.5,0.5模型特征根判别平稳域判别结论(1)平稳(2)非平稳(3)平稳(4)非平稳p101)(110tptpttxxEExTtEExtt,0)(,}{t（三）平稳AR模型的统计性质1、均值如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有根据平稳序列均值为常数，且为白噪声序列，有推导出（1）Green函数定义},2,1,{jGjjtjjjpijtjiipijtjiipitiittGkBkBkBx001101)(1)(2、方差将平稳的AR(p)模型表示成如下的传递形式其中系数称为Green函数求Green函数递推公式pkpkjGGGkkkjjkkj,0,,,2,1110其中，ttttttBGBBGxxB)()()()(由待定系数法可得如下递推公式（2）平稳的AR(p)模型的方差函数为GreenGGxVarjjjt,)(202jtjjtGx0由平稳AR模型的传递形式两边求方差得例3.2:求平稳AR(1)模型的方差itiitiittBBx01011)(1,1,0,1jGjj2122021021)()(jjtjjtVarGxVar平稳AR(1)模型的传递形式为Green函数为平稳AR(1)模型的方差为也可用以下方法计算10110011,,1tttttExExExExE将原过程改写为11()tttxx1112222111()()[()]()2cov(,)()0()ttttttttVarxVarxVarxVarxVarxVarx221()1tVarx所以3、自协方差函数)()()()(11kttktptpkttkttxExxExxExxEktx1,k0)(kttxE1,kpkpkkk2211在平稳AR(p)模型两边同乘，再求期望根据得自协方差函数的递推公式例3.3:求平稳AR(1)模型的自协方差函数0111kkk212011,12121kkk递推公式：平稳AR(1)模型的方差为自协方差函数的递推公式为：例3.4:求平稳AR(2)模型的协方差20112221122tttttttEXEXXEXXEX2202222111(1)101122121kkk利用11222ttttttEXEXX其中21)1)(1)(1(12211201122121220kkkk，所以，平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为4、自相关系数0kk1122kkkpkp（1）自相关系数的定义：01特别（2）平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式：上述方程称为Yule-Walker方程。（3）常用AR模型自相关系数递推公式1,0kkk2110,1221121kkkkkkAR(1)模型AR(2)模型说明：在AR(1)模型中，即使没有直接出现在模型中，和也是相关的。因为所以，是通过与相关的，这种间接相关出现在任何AR模型中。与的自相关系数等于与的自相关系数乘以与的自相关系数。即2tx2txtx1121tttxx2tx1txtx2txtx22tx1tx11txtx1221()5、平稳AR(p)模型自相关系数的性质1(),pkiiikc不能恒等于零pccc,,,211()pkiiikc0（1）拖尾性（2）呈负指数衰减拖尾性说明之前的每一个序列值都会对构成影响，但因为自相关系数呈负指数衰减，所以，间隔较远的序列值对现时值的影响很小，具有所谓的“短期相关性”。txtx12,,ttxx例3.5:考察如下AR模型的自相关图ttttttttttttttxxxxxxxxxx2121115.0)4(5.0)3(8.0)2(8.0)1(例3.5—自相关系数按负指数单调收敛到零1(1)0.8tttxx例3.5:—自相关系数呈现正负相间地衰减1(2)0.8tttxx例3.5:—自相关系数呈现出“伪周期”性12(3)0.5ttttxxx例3.5:—自相关系数不规则衰减12(4)0.5ttttxxx6、偏自相关函数自相关函数ACF(k)给出了Xt与Xt-k的总体相关性，但总体相关性可能掩盖了变量间完全不同的相关关系。例如，在AR(1)中，Xt与Xt-2间有相关性可能主要是由于它们各自与Xt-1间的相关性带来的:)()(2112122ttttXXEXXE即自相关函数中包含了这种所有的“间接”相关。与之相反，Xt与Xt-k间的偏自相关函数(partialautocorrelation，简记为PACF)则是消除了中间变量Xt-1，…，Xt-k+1带来的间接相关后的直接相关性，它是在已知序列值Xt-1，…，Xt-k+1的条件下，Xt与Xt-k间关系的度量。121,,,ktttxxxktxtx2,,,)ˆ[()]ˆ)(ˆ[(11ktktktktttxxxxxExExExxExEkttktt定义：对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后，对影响的相关度量。用数学语言描述就是7、偏自相关系数的计算（1）直接利用回归方法计算1112112221122ttttttttktktkktktxxxxxxxxx首先将序列中心化，作如下形式的回归滞后k偏自相关系数实际上就等于k阶自回归模型第个k回归系数的值。注意到：11121122211(1)(1)tttttttt