2011年高考数学一轮精品复习课件：第2章《函数与导数》――导数及其运算

学案11导数及其运算返回目录1.导数的概念若函数y=f(x)在x0处的增量Δy与自变量的增量Δx的比值,当Δx→0时的极限lim=存在,则称f(x)在x0处可导,并称此极限值为函数f(x)在x0处的导数,记为或.Δx→0xyy′|x=x0x)f(x-x)f(xlim000xf′(x0)返回目录2.导函数如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说f(x)在区间(a,b)内可导,其导数也是开区间(a,b)内的函数,又称作f(x)的导函数,记作或.3.函数f(x)在x0处的导数函数f(x)的导函数f′(x)在x=x0处的函数值即为函数f(x)在x0处的导数.4.导数的几何意义(1)设函数f(x)在x0处可导,则它在该点的导数等于函数所表示的曲线在相应点M(x0,y0)处的.(2)设s=s(t)是位移函数,则s′(t0)表示物体在t=t0时刻的.f′(x)y′f′(x0)切线的斜率瞬时速度返回目录(3)设v=v(t)是速度函数,则v′(t0)表示物体在t=t0时刻的.5.常用的导数公式C′=(C为常数);(xm)′=(m∈Q);(sinx)′=;(cosx)′=;(ex)′=;(ax)′=;(lnx)′=;(logax)′=.6.导数的运算法则［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x),［Cf(x)］′=Cf′(x)(C为常数),加速度0mxm-1cosx-sinxexaxlnax1logaex1［f(x)g(x)］′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),7.复合函数求导的运算法则一般地,设函数u=φ(x)在点x处有导数u′x=φ′(x),函数y=f(u)在u处有导数y′u=f′(u),则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有导数,且y′x==.返回目录0).(g(x)(x)g(x)gf(x)-(x)g(x)fg(x)f(x)2xuu·y(x)(u)·f返回目录考点一导数的定义用导数定义求函数y=f(x)=在x=1处的导数.【分析】利用导数定义求函数的导数应分三步：①求函数增量Δy;②求平均变化率;③求极限lim.x1xyΔx→0xy返回目录【评析】本题的关键是对的变形.【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)21)1(1limlim)1(1)1(1100x1x1xyx1x1xyx1x1xx1x111-x1xxxy＊对应演练＊利用导数定义求导:（1）y=x2在x=2处的导数值;（2）y=在x=1处的导数值.返回目录x4.x)(4limxxx4limx2-x)(2limxlim020x220x0xxy)1(返回目录.21limlimlimylim000x0111)11(11)2(xxxxxxxxxx返回目录考点二利用导数公式求导求下列函数的导数:(1)y=-3x3-7x2+1;(2)y=ln|x|;(3)y=;(4)y=3xex-2x+e;(5)y=;(6)y=xcosx-sinx.【分析】直接应用导数公式和导数的运算法则.1xlnx22xx-1x31x返回目录【解析】(1)y′=(2)当x0时，y=lnx,y′=;当x0时，y=ln(-x),y′=()·(-1)=.∴y′=.14x.-9x-x31-0)7(x-)3(x-)(x)(1)(7x-)(3x-)x1(2342331233x1x1x1x1(3)返回目录.)xx-(1x-1)xx-(12x)1-x(0-xx-1)xx-(1)xx-x(1-)xx-(1xy2222222222返回目录(4)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′+0=3xln3·ex+3xex-2xln2=(3e)xln3e-2xln2.(5)y′=(6)y′=(xcosx)′-(sinx)′=cosx-xsinx-cosx=-xsinx..1)x(xlnx2x-1x1)(x2xlnx-1)(x1)(x)1lnx(x-1)(x)(lnx22222222222x1【评析】熟练运用导数的运算法则及复合函数的求导法则，并进行简单的求导数运算，注意运算中公式使用的合理性及准确性.返回目录返回目录＊对应演练＊求下列函数的导数:（1）y=x2sinx;（2）y=（3）y=cos(2x2+1);（4）y=ln(x+).2x1;sinxxcosxx（1）y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx.（2）y′=返回目录.sinx)(xcosx-xcosx-1-xsinx-sinxsinx)(xcosx)cosx)(1(x-sinx)sinx)(x-(1sinx)(x)sinxcosx)(x(x-sinx)(x)cosx(x222（3）y′=-sin(2x2+1)(2x2+1)′=-4xsin(2x2+1).（4）y′=返回目录.x1xx1xx1x1)x1·(xx1x122222)1(考点三求复合函数的导数求下列函数的导数:(1)y=sin(2x+);(2)y=log2(2x2+3x+1).【分析】形如f(ax+b)型函数的导数,可用复合函数的求导法则.返回目录3【解析】(1)解法一:设y=sinu,u=2x+,则y′x=y′u·u′x=cosu·2=2cos(2x+).解法二:y′=cos(2x+)·(2x+)′=2cos(2x+).返回目录33333返回目录(2)解法一:设y=log2u,u=2x2+3x+1,则y′x=y′u·u′x=·log2e·(4x+3)=(4x+3)=log2e.解法二:y′=［log2(2x2+3x+1)］′=(2x2+3x+1)′=(4x+3)=log2e.u113x2xelog2213x2x34x213x2xelog2213x2xelog2213x2x34x2【评析】求形如f(ax+b)型复合函数的导数,一般要利用求导法则求导,将问题转化为基本函数的导数解决,具体地:(1)要分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量.(2)分步计算中每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别需要注意中间变量的系数.(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数.(4)对较复杂的函数,要先化简再求导以简化运算过程.返回目录返回目录＊对应演练＊求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=sin2(2x+);(3)y=x.43x)-(113π2x1(1)设u=1-3x,y=u-4.则y′x=y′u·u′x=-4u-5·(-3)=.(2)设y=u2,u=sinv,v=2x+,则y′x=y′u·u′v·v′x=2u·cosv·2=4sin(2x+)·cos(2x+)=2sin(4x+).(3)y′=(x)′=x′·+x·()′=+=.返回目录53x)-(112333322x12x12x12x122x1x22x12x1返回目录考点四导数的几何意义已知曲线y=x3+.（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.【分析】(1)可知切点为(2,4),则在(2,4)处的切线可求.(2)过点(2,4)的切线中,(2,4)可能为切点,也可能为另外一条切线与曲线的交点.3134【解析】(1)∵y′=x2,∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y′|x=2=4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.返回目录返回目录(2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0,)，则切线的斜率.∴切线方程为y-()=(x-x0),即y=·x-+.∵点P(2,4)在切线上,∴4=2-+,即-3+4=0,∴+-4+4=0,∴(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.313434x313020x20x0xx|yk34x313020x3230x3420x30x323430x20x30x20x20x20x返回目录【评析】(1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法.(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P(x0,y0)，然后求其切线斜率k=f′(x0)，写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点.(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点,当曲线是二次曲线时,我们知道直线与曲线相切,有且只有一个公共点,这种观点对一般曲线不一定正确.＊对应演练＊已知曲线C：y=x3-3x2+2x，直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0),求直线l的方程及切点坐标.返回目录返回目录∵直线l过原点,则k=(x0≠0).由点(x0,y0)在曲线C上,得y0=-3+2x0,∴=-3x0+2.∵y′=3x2-6x+2,∴k=3-6x0+2.又k=,∴2-6x0+2==-3x0+2,整理得2-3x0=0.∵x0≠0,∴x0=,此时y0=-,k=-,因此直线l的方程为y=-x,切点坐标为(,-).00xy30x20x00xy20x20x00xy20x00xy20x20x238341412383返回目录1.在对导数的概念进行理解时,特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的,f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值,不一定为0;而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,而数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0))′=0.2.对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.返回目录3.复合函数的求导方法求复合函数的导数,一般是运用复合函数的求导法则,将问题转化为基本函数的导数解决.(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成的,适当选定中间的变量.(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量的关系.(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数.(4)复合函数的求导熟练以后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程.