重心和形心

1工程力学电子教案重心和形心第五章重心和形心§5-1重心和形心的坐标公式§5-2确定重心和形心位置的具体方法2工程力学电子教案重心和形心地球表面或表面附近的物体都会受到地心引力。任一物体事实上都可看成由无数个微元体组成，这些微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重力（即地球的吸引力）ΔPi，其作用点的坐标xi、yi、zi与微元体的位置坐标相同。所有这些重力构成一个汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远大于地面上物体的尺寸，这个力系可看作一同向的平行力系，而此力系的合力称为物体的重力zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio3工程力学电子教案重心和形心平行力系合力的特点：如果有合力，则合力作用线上将有一确定的点C,当原力系各力的大小和作用点保持不变，而将各力绕各自作用点转过同一角度，则合力也绕C点转过同一角度。C点称为平行力系的中心。对重力来说，则为重心。zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio重心的位置对于物体的相对位置是确定的,与物体在空间的位置无关。4工程力学电子教案重心和形心zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio重心位置的确定在实际中有许多的应用。例如，电机、汽车、船舶、飞机以及许多旋转机械的设计、制造、试验和使用时，都常需要计算或测定其重心的位置。5工程力学电子教案重心和形心§5-1重心和形心的坐标公式1.重心坐标的一般公式zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio6工程力学电子教案重心和形心右图认为是一个空间力系，则P=∑ΔPi合力的作用线通过物体的重心，由合力矩定理即于是有)(Δ)(iyyPMPMiiCxPxPΔPxPxiiCΔzxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio同理有PyPyiiCΔ7工程力学电子教案重心和形心为确定zC，将各力绕y轴转90º，得2.均质物体的重心坐标公式即物体容重g系常量，则于是有PzPziiCΔiiVPVPΔΔ,ggzxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio8工程力学电子教案重心和形心上式也就是求物体形心位置的公式。对于均质的物体，其重心与形心的位置是重合的。VxVxiiCΔVyVyiiCΔVzVziiCΔzxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio9工程力学电子教案重心和形心3.均质等厚薄板的重心和平面图形的形心对于均质等厚的薄板，如取平分其厚度的对称平面为xy平面，则其重心的一个坐标zC等于零。设板厚为d，则有V=A·d，ΔVi=ΔAi·d则上式也即为求平面图形形心的公式。AxAxiiCΔAyAyiiCΔ10工程力学电子教案重心和形心§5-2确定重心和形心位置的具体方法(1)积分法；(2)组合法；(3)悬挂法；(4)称重法。具体方法：11工程力学电子教案重心和形心1.积分法对于任何形状的物体或平面图形，均可用下述演变而来的积分形式的式子确定重心或形心的具体位置。对于均质物体，则有VVzzVVyyVVxxVCVCVCd,d,dzxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio12工程力学电子教案重心和形心若为平面图形，则求图示半圆形的形心位置。AAyyAAxxACACd,dC2RO例题5-113工程力学电子教案重心和形心解：建立如图所示坐标系，则xC=0现求yC。则222)(yRybyyR2yybA2dd)(d230232202232|)(32d2dRyRyyRyAySRAAx例题5-1b(y)ydyC2ROxy14工程力学电子教案重心和形心代入公式有π34dRASAAyyxAC例题5-1b(y)ydyC2ROxy15工程力学电子教案重心和形心2.组合法当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每个组成部分的重心或形心的位置又已知时，可按第一节中得到的公式来求它们的重心或形心。这种方法称为组合法。下面通过例子来说明。角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心位置。y15020x20200O(a)y15020x20200O12(b)例题5-216工程力学电子教案重心和形心解：取Oxy坐标系如图(b)所示，将角钢分割成两个矩形，则其面积和形心为：A1=（200-20）×20=3600mm2x1=10mmy1=110mmA2=150×20=3000mm215020x20200Oy12(b)x2=75mmy2=10mm例题5-217工程力学电子教案重心和形心由组合法，得到xC=A1+A2A1x1+A2x2=39.5mmC(xC,yC)15020x20200Oy12(b)yC=A1+A2A1y1+A2y2=64.5mm另一种解法：负面积法15020x20200Oy1将截面看成是从200mm×150mm的矩形中挖去图中的小矩形（虚线部分）而得到，从而A1=200×150=30000mm2例题5-218工程力学电子教案重心和形心x1=75mm,y1=100mmA2=-180×130=-23400mm2故xC=30000×75-23400×8530000-23400=39.5mmyC=30000×100-23400×11030000-23400=64.5mm两种方法的结果相同。x2=85mm,y2=110mm15020x20200Oy1例题5-219工程力学电子教案重心和形心3.悬挂法以薄板为例，只要将薄板任意两点A和B依次悬挂，画出通过A和B两点的铅垂线，两条铅垂线的交点即为重心C的位置，如图。想一想，为什么？AABC20工程力学电子教案重心和形心4.称重法对较笨重的物体，如汽车，其重心测定常采用这种方法。图示机床重2500N，现拟用“称重法”确定其重心坐标。为此，在B处放一垫子，在A处放一秤。当机床水平放置时，A处秤上读数为1750N，当θ=20º时秤上的读数为1500N。试算出机床重心的坐标。思考题5-1yxBAθ21工程力学电子教案重心和形心边长为a的均质等厚正方形板ABCD，被截去等腰三角形AEB。试求点E的极限位置ymax以保证剩余部分AEBCD的重心仍在该部分范围内。ABDCEymaxaaxy例题5-322工程力学电子教案重心和形心yC=A1+A2A1y1+A2y2解：分两部分考虑xC=2a极限位置yC=ymaxⅠ：Ⅱ：3/2/max1max1yyyaA2/,222ayaA,即2max2maxmaxmax2232ayaaayyay例题5-3ABDCEymaxaaxy23工程力学电子教案重心和形心解方程得展开得03622max2maxayayaay634.04326max例题5-3ABDCEymaxaaxy24工程力学电子教案重心和形心