2.1.2数列的递推公式-(共15张PPT)

2.1.2数列的概念通项公式和递推公式复习导入1、数列的定义2、数列的实质—特殊的函数（离散函数）3、数列的通项公式4、数列的表示方法：列表法，通项公式法，图象法，递推公式法学习目标1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法.重点：数列递推公式的概念.难点：根据各项的特点找出规律写出前n项的通项公式.根据递推关系求通项公式..《庄子·天下篇》曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”1.如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分构成一个数列，依次写出前五天剩下的部分。2.第n天与第n+1天剩下的部分有何关系？3。第n天剩下的部分an与第n+1天剩下的部分an+1能用等式表示吗？自主先学向上面那样，如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.展示点津1．数列的递推公式是n的函数的关系式吗？答案：数列的递推公式不是n的函数的关系式．2．通项公式与递推公式有何异同？答案：相同：二者都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项．不同：通项公式是n的函数的关系式，可直接求出任一项；而递推公式可根据第一项(或前n项)的值，通过一次(或多次)赋值逐项求出数列的值，直至求出所需的项an.探索迁移题型1已知数列的递推公式，求前几项及其通项公式例1：已知下列数列的递推公式，写出此数列的前4项，并推测数列的通项公式．(1)数列{an}满足an＋1＝2an＋1，n∈N*，且a1＝－1；(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋1n(n－1)(n≥2)．数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首项或前几项(基础)两个因素所确定的，即便递推关系完全一样，而首项不同就可得到两个不同的数列，适当配凑是本题进行归纳的前提．自主解答：(1)a1＝a2＝a3＝a4＝－1，可推测数列{an}的通项公式an＝－1.(2)由已知，得a1＝1，a2＝1＋12×1＝32，a3＝32＋13×2＝53，a4＝53＋14×3＝74，可推测数列{an}的通项公式an＝2n－1n.【变式与拓展】1．根据递推公式，分别写出它的前5项，并归纳出通项公式：(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，an＋1＝2anan＋2(n∈N*)．解：(1)a1＝0，a2＝a1＋1＝1，a3＝a2＋3＝4，a4＝a3＋5＝9，a5＝a4＋7＝16.由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，a5＝42，可归纳出an＝(n－1)2.(2)a1＝1，a2＝23，a3＝12＝24，a4＝25，a5＝13＝26，∴an＝2n＋1.巩固练习题型2已知递推公式，用累加法求通项公式例2：已知在数列{an}中，a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)，求数列{an}的通项公式．思维突破：先对an＝an－1＋3从2到n进行取值，得到n－1个式子，再把这n－1个式子相加，消去中间项．自主解答：由递推关系an＝an－1＋3(n≥2)，得a2＝a1＋3，a3＝a2＋3，…若数列有形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式，且可求f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，可用累加法求通项公式．an－1＝an－2＋3，an＝an－1＋3.将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得a2＋a3＋…＋an－1＋an＝a1＋3＋a2＋3＋a3＋3＋…＋an－1＋3，消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理，得an＝a1＋3(n－1)．∵a1＝5，∴an＝3n＋2.题型3已知递推公式，用累乘法求通项公式例3：已知a1＝2，an＋1＝2an，求an.思维突破：对an＋1＝2an从1到n－1进行取值，得到n－1个式子，再把这n－1个式子相乘，消去中间项．自主解答：解法一：a1＝2，a2＝2×2＝22，a3＝2×22＝23，…，观察可得：an＝2n.解法二：由an＋1＝2an，得an＝2an－1，即anan－1＝2.∴anan－1×an－1an－2×an－2an－3×…×a2a1＝2n－1.∴an＝a1·2n－1＝2n.1.递推公式的概念；2.递推公式与数列的通项公式的区别是：(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.(2)对于通项公式，只要将公式中的n依次取1,2,3,4,…即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可依次求出其他项.3.用递推公式求通项公式的方法：观察法、累加法、迭乘法.课堂小结1.已知a1＝2，an＋1＝an－4，求an.堂测2.已知数列{an}的第一项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前五项.111nnaa教材P33—4作业