共点力平衡补充练习及参考答案

“共点力平衡”补充练习1．如图所示，灯重为G，挂在天花板下，绳AO、BO与竖直方向的夹角分别为α、β。求：（1）绳AO、BO对灯的拉力TA、TB？（2）要保持AO绳空间位置不变，问：OB绳怎么用力可以最小？最小力多少？（1）解法1：利用正交分解法.如图建立坐标系，对O，由平衡条件得:sinsin0:coscosBABAxTTyTTmg解得sinsinsincoscossinsin()sinsinsincoscossinsin()ABmgmgTmgmgT注：本解法运用了三角公式sin()sincoscossin解法2：利用矢量三角形法结合正弦定理.三个共点力平衡，首尾相接，必组成封闭矢量三角形，由正弦定理知sinsinsin[()]sin()ABTTmgmg（2）解法1：函数法由（1）知sinsin()BmgT，AO绳空间位置不变，则不变，这样sin()1即2时取minsinBTmg解法2：图解法作出矢量三角形图来，因AO绳空间位置不变，故不变，从而从图可知，当A⊥B时，B取最小值minsinBTmg2．在半径为R的光滑半球面球心正上方高h处悬挂一个定滑轮，重力为G的小球用绕过滑轮的绳子被站在地面上的人拉住。设小球和滑轮之间的距离为L，试求（1）小球对球面的压力和绳子的拉力？（2）人拉动绳子，在与球面相切的某点缓缓运动到接近顶点的过程中,试分析小球对半球的压力和绳子拉力如何变化?（小球可看作质点）解：(1)利用矢量三角形与几何三角形是相似三角形求解.由图易知力的图中，矢量三角形与几何三角形相似。故有NTmgRLh，得,RLNGTGhh，T＝F(2)小球上升的过程中，上述关系还成立，因为小球始终处于平衡状态，而在小球上升过程中，R，h不变，L减小，故N大小不变，T减小，F减小.3．如图（a）所示，将一条轻而柔软的细绳一端栓在天花板上的A点，另一端拴在竖直墙上的B点，A和B到O点的距离相等，绳长是OA的2倍。图（b）所示为一质量可忽略的小动滑轮K，滑轮下面悬挂一质量为m的物体，不计摩擦，现将动滑轮和物体一起挂到细绳上，达到平衡时，绳所受的拉力多大？解：设绳长为L,OA=d.由于ACB是一根连续轻绳，故AC、BC段对C的拉力相等(设为T),进而从水平方向合力为0可知AC、BC段与竖直方向夹角相等(设为),于是，利用几何关系知BCD是等腰三角形（CBDCDB），故BC＝CD.从而AD＝绳长＝L，sindL①对C,在y方向2cosTmg②本题中，L=2d，故1sin2，30，代入②得33Tmg引申：（1）若A点右移，绳中张力大小怎么变？简析：d减小，由①知，cos，由②知T减小（2）若B点下移，绳中张力大小怎么变？简析：L、d都不变，由①知不变，由②知T不变4．在水平面上放有一质量为m，与地面的动摩擦因数为μ的物体，现用力F拉物体，使其沿地面匀速前进，求F的最小值及方向。解法1：利用正交分解法和三角公式求解。设F与水平方向夹角为，如图建立坐标系。由平衡条件得:cos0:sinxFNyNFmg解得cossinmgF令tan(为与对应的摩擦角)，则coscossincoscossinsincos()cossincosmgmgmgF上式中，21cos1，当cos()1即(arctan)时有min21mgF.注：本解法运用了三角公式cos()coscossinsin解法2：图示法.先求f,N的合力（设为F1），将四力平衡问题转换为三力平衡问题（这样做的好处是可以利用作矢量三角形借助三角形的相关知识求解）F1大小会随着F,的变化而变化，但是方向始终不变（F1与N的夹角总满足tanfNNN）.物体在F1，F，mg三个力的作用下平衡，组成封闭矢量三角形(如图)由图可知，min2sin1mgFmg（由tan可得2sin1）5．如图所示，物块置于倾角为θ的斜面上，物重为G，与斜面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，与斜面的动摩擦因数为μ=3/3，用水平外力F推物体，问当斜面的倾角变为多大时，无论外力F怎样增大，都不能使物体沿斜面向上运动。解：要使物体能沿斜面向上运动，向上匀速运动是最低要求，物体的受力如图，于是有cossin0sincos0xFNGyNFG方向：方向：由以上两式可得(cossin)(sincos)FG①当cossin0时，无论F多大，①式也不可能成立（换言之，找不到一个F，可以使得物体沿斜面向上运动）因此，当1tan3即60时，无论外力F多大，都不能使物体沿斜面向上运动另解析：随F增大，N和f都随之增大，F增大到一定值，f达到最大静摩擦。当弹力和摩擦力的合力T与F在一条直线上时，出现自锁。即斜面倾角和摩擦角之和为90o时出现自锁。在该题中摩擦角为303/3tg故斜面倾角的临界值为6060时，无论外力F多大，都不能使物体沿斜面向上运动6．用如图甲所示的装置研究质量一定时加速度与作用力的关系．实验中认为细绳对小车的作用力F等于砂和桶的总重力，用改变砂的质量的办法来改变对小车的作用力F，用打点计时器测出小车的加速度a，得出若干组F和a的数值，然后根据测得的数据作a—F图线．一学生作出如图乙所示的图线，发现横轴上的截距OA较大，明显地超出了偶然误差的范围，这是由于实验中没有进行什么步骤？解：可能是实验中忘了垫高木板以平衡摩擦力.（从a－F图可知，当F为某一个值之后物体才有加速度，这说明F须先克服一个力，这个力很可能是摩擦力）FGNfT7．如右图所示，一质量为M的楔形木块放在水平桌面上，它的顶角为90°，两底角为α和β；a、b为两个位于斜面上质量均为m的小木块。已知所有接触面都是光滑的。现发现a、b沿斜面下滑，而楔形木块静止不动，这时楔形木块对水平桌面的压力等于（）（要求写出解答过程）A．Mg＋mgB．Mg＋2mgC．Mg＋mg(sinα＋sinβ)D．Mg＋mg(cosα＋cosβ)答案：A解析：分别分析a、b的受力，易知12cos,cosNmgNmg，再分析M的受力，M静止，故2212coscoscoscosNMgNNMgmgmg地，因2，故2222coscoscossin1，故NMgmg地由牛顿第三定律知，木楔对地面压力NNMgmg地地引申：若a、b均沿斜面匀速下滑，则木楔对地面压力是多少？简析：a、b、M静止或者匀速，都是处于平衡状态，a＋b＋M整体也处于平衡状态，对a＋b＋M分析受力，由平衡条件可得2NNMgmg地地另：应用质点组牛顿第二定律：得系统在竖直方向上满足：22(2)0(sin)(sin)sinsinaybyabMmgNMmamamamamgmgmgNMmg地地112233112233112233..................xxxyyyFmamamaFmamamaFmamama合x合y合8如图所示，a，b，c为三个物块，M，N为两个轻质弹簧，R为跨过光滑定滑轮的轻绳，它们连接如图所示并处于静止状态：（）A．有可能N处于拉伸状态而M处于压缩状态B．有可能N处于压缩状态而M处于拉伸状态C．有可能N处于不伸不缩状态而M处于拉伸状态D．有可能N处于拉伸状态而M处于不伸不缩状态答案：AD简析：a、N间的绳子不可能因压缩产生弹力，故N不可能被压缩……B错N可以处于原长或伸长状态。当N处于原长时，M一定处于压缩状态，才能给a提供支持力，故……C错当N处于伸长状态时，M可以处于伸长、压缩、原长的任一状态，故……A、D对具体分析为：A选项．M处于压缩状态但弹力比a的重力小，此时a、N间的绳子有拉力，N处于拉伸状态，可能C选项．N处于不伸不缩状态，则a、N间的绳子没有拉力，a的重力必须靠M处于压缩状态产生的弹力平衡，不可能D选项．当N处于拉伸状态并且产生的弹力大小等于a的重力时，M刚好处于不伸不缩状态（此时a的重力与a、N间的绳子的拉力刚好平衡）摩擦角摩擦角：当物体处于滑动的临界状态时，静摩擦力FS达到最大值Fmax,此时FR与FN的夹角也最大，此时的φm称为摩擦角。由图5-3可见：tanφm=Fmax/FN=fFN/FN=f即：摩擦角的正切等于静摩擦因数。可见,根据摩擦角可以来确定静摩擦因数(摩擦角可由实验测得)。可以想到：当运动趋势方向（即主动力的方向）改变时，Fmax及支撑面的全反力FR的方向也将改变。当全反力FR的作用线在空间连续改变时，将描出一空间锥面，称为摩擦锥。如图5-4所示。可以利用摩擦角（或摩擦锥）来表示物体的平衡范围，即φ≤φm（F≤Fmax）摩擦角新论大家知道物体恰好能从粗糙斜面上匀速下滑时斜面的倾角称为摩擦角。如果测得这个角度就能确定物体与斜面之间的动摩擦因数，即μ＝tanθ。不过用这种方法测定摩擦因数有一定的难度，因为物体是否真正作匀速运动，依靠目力是难以辨别的。我们发现在变速运动的情况下也可以引入摩擦角，只要量出角度就能得到摩擦因数，从而可以避免判定速度是否均匀的困难。一、坡面滑行物体的摩擦角课本上有这样一道题目：在斜面上端A处有一个物体自静止起滑下，滑至水平面C点停止，若物体与斜面、平面间的摩擦因数均为μ，A与C之间水平距离为S，物体开始下滑的高度AD＝h，试证滑动摩擦因数μ=h/S。这个题目的证明并不难，设斜面AB与水平面夹角为α，根据功能关系，物体克服摩擦力所做的功等于物体机械能的减少。即mgh=F1·AB+F2·BCF1、F2为摩擦力，分别等于μmgcosα和μmg，代入后可得mgh=μmgcosα·AB+μmg·BC∵ABcosα＝DB，上式可以写作h＝μ(DB+BC)式中DB+BC＝S，∴μ=h/S。从这个问题引伸出去，我们连接直线Ac，令AC与DC间夹角为θ，则得到了一个新的摩擦角θ(图2)，这时同样有μ＝tanθ这个结果与假定物体从A匀速沿AC滑动得到的结果是等效的。于是我们设想，如果坡面是由多段折线组成(图3)，物体从A点出发最终停止在E点，那么是否也只要将AE联结起来，量出它与水平面的夹角θ，就能得到摩擦因数呢？从图3可以看出，ABcosα=S1,CDcosβ=S3，DEcosδ=S4,根据功能关系，mg(h1-h2)=F1AB+F2BC+F3CD+F4DE同样能得到μ=△h/S=tanθ。因此在变速情况下也存在一种摩擦角，只要量出起点至终点连线与水平面之间夹角就能测定滑动摩擦因数。当然实际上用这个方法测定摩擦因数也有误差，因为在斜坡的转角处往往有冲击，有能量的损失，我们在计算时略去了这个因素。有趣的是这种变速情况下的摩擦角有它的实用价值。例如对高山滑雪运动来说，知道了滑雪板与雪之间的滑动摩擦因数，也就是知道了摩擦角。运动员只要用一个量角器作观察仪器向山下观察，沿摩擦角θ所观察到的那一点就是他能不加任何动力而到达的终点(图4中N点)。如果在直线MN的中间被一个高峰阻挡(图中虚线部分)，那么他只能停止在峰的左侧P点，不可能超越这个山峰抵达N点。说到这里必然有人会问，如果P点斜坡的坡度很大，其倾角超过了最大静摩擦角。也就是说滑雪运动员在这一点停不住，那么他将滑至何处呢？我们可以在P点再画摩擦角θ，即直线Pq，他将停在q点。以此类推，如果q点还不能停住，则再向下画θ角。从这里可以看出，最终停止的点除了受滑动摩擦角制约之外，还受到该处最大静摩擦角的制约。二、斜面上横移物体的摩擦角下面研究静止在粗糙斜面上物体能不能用角度来确定摩擦因数？图5中斜面倾角为θ，在A情况下物体处于静止状态