04183概率论与数理统计(经管类)基础知识

1/5一、随机事件与概率公式名称公式表达式排列组合排列数)!(!nmmPnm组合数)!(!!nmnmCnm特别地：Cn0=10!=1运算律交换律：A∪B=B∪AA∩B=B∩A结合律：A∩(B∩C)=(A∩B)∩CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配律：(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)对偶律：A∪B=A∩BA∩B=A∪B事件关系①A的组成部分也是B的组成部分，（A发生必有B发生），记做BA②BA且AB，则称A与B等价，或称A等于B，记做A=B③Ω-A=A称A的逆事件，或A的对立事件，互斥未必对立④A∩B=φ，则表示A与B不能同时发生，称A与B互不相容或者互斥两个事件相互独立()()()PABPAPB；()()PBAPB；)()(ABPABP；公理化定义11)(iiiiAPAP古典概型()mAPAn包含的基本事件数基本事件总数几何概型()()()APA，其中μ为几何度量（长度、面积、体积）求逆公式)(1)(APAP加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A∪B)=P(A)+P(B)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)，当BA时P(A-B)=P(A)-P(B)条件概率公式与乘法公式)()()(APABPABP()()()()()PABPAPBAPBPAB()()()()PABCPAPBAPCAB全概率公式(由因推果1()()()niiiPAPBPAB贝叶斯公式（由果溯因）1()()()()()iiiniiiPBPABPBAPBPAB伯努利概型knkknnqpkPC)(二、随机变量及其分布1、离散型随机变量及其分布分布名称及记号分布律（概率分布）0–1分布(1,)Xbp1,0,)1()(1kppkXPkk二项分布(,)XbnpnkppCkXPknkkn,,1,0,)1()(泊松分布()XP(),0,1,2,!kPXkekk泊松定理当则2、连续型随机变量及其分布分布名称密度函数分布函数均匀分布(,)XUab其他,0,1)(bxaabxf0,(),1,xaxaFxaxbbaxb指数分布()Xe0,00,)(xxexfx0,00,1)(xxexFx正态分布2(,)XN22()21()2xfxex22()21()d2txFxet标准正态分布(0,1)XN221()2xxex2121()2txxedt3、分布律的性质(1)0kp,1,2,...k;(2)11kkp4、分布函数的性质①,1)(0xFx；②)(xF是单调不减的函数，即21xx时，有)(1xF)(2xF；③0)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx④)()0(xFxF，即)(xF是右连续的；5、密度函数（概率密度）的性质①()0fx；②()1fxdx。③)()()(aFbFbXaP=④对于离散型随机变量，xxkkpxF)(；⑤对于连续型随机变量，xdxxfxF)()(6、分布函数与密度函数关系：①F’(X)=f(x)②∫f(x)dx=F(x)7、正态分布的性质①对(0,1)XN,则()1()xx，Φ(0)=1/2P(X≤b)=Φ(b),P(X≥a)=1-Φ(a),P(a≤X≤b)=Φ(b)-Φ(a)②2(,)XN与(0,1)XN关系:F(x)=P(X≤x)=Φ((x-µ)/σ)③若2(,)XN，则①aX+b～N(aµ+b,a2σ2),②(X-µ)/σ～N(0,1)2/58、随机变量函数Y=g(X)的概率密度离散型：()(),1,2,jiijgxyPYypi，连续型：()(())()(())YXfyfhyhyxhy单调其中x=h(y)为y=g(x)的反函数三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布律：(,),,1,2,ijijPXxYypij分布函数：(,)iiijxxyyFXYp边缘分布律：⑴()iiijjpPXxp⑵()jjijipPYyp条件分布律：⑴(),1,2,ijijjpPXxYyip⑵(),1,2,ijjiipPYyXxjp分布律的性质：⑴pij≥0（i,j=1,2,…）；⑵.1ijijp2、连续型二维随机变量及其分布①分布函数及性质分布函数：xydudvvufyxF),(),(性质：2(,)(,)1,(,),FxyFfxyxy((,))(,)GPxyGfxydxdy②边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：xXdvduvufxF),()(yYdudvvufyF),()(密度函数：dvvxfxfX),()(duyufyfY),()(③条件概率密度:yxfyxfxyfXXY,)(),()(，xyfyxfyxfYYX,)(),()(④密度函数的性质⑶f(x,y)≥0;⑵.1),(dxdyyxf⑶当f(x,y)～N(µ1,µ2,σ12,σ22,ρ)则①fX(x)～N(µ1,σ12),fY(y)～N(µ2σ22),②ρ=0X,Y相互独立3、随机变量的独立性随机变量X、Y相互独立(,)()()XYFxyFxFy，离散型：..ijijppp，连续型：(,)()()XYfxyfxfy4、二维随机变量和函数的分布离散型：()(,)ijkkijxyzPZzPXxYy连续型：()(,)(,)Zfzfxzxdxfzyydy5、分布函数F(x,y)的基本性质：⑴;1),(0yxF⑵F(x,y)分别对x和y是非减的，即当x2x1，F（x2,y）≥F(x1,y);当y2y1，有F(x,y2)≥F(x,y1);⑶F(x,y)分别对x和y右连续，即);0,(),(),,0(),(yxFyxFyxFyxF⑷.1),(,0),(),(),(FxFyFF⑸当，，2121yyxx0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF，，，，.四、随机变量的数字特征1、一维随机变量特征数字离散型连续型变量的期望E(x)nkkkpxXE1)(dxxxfXE)()(函数期望E(g(x))nkkkpxgYE1)()(dxxfxgYE)()()(方差(标准差=√方差）D(X)=E[X-E(X)]2=E(X2)-E2(X)kkkpXExXD2)]([)(dxxfXExXD)()]([)(2K阶原点矩νK=E(XK)νk=E(Xk)=iikipxνk=E(Xk)=,)(dxxfxkK阶中心矩μK=E((X-E(X))K)μK=iikipXEx))((μK=,)())((dxxfXExk2、二维随机变量特征数字离散型连续型变量期望niiipxXE1)(njjjpyYE1)(dyyyfYEY)()(dxxxfXEX)()(函数期望)],([YXGE=ijijjipyxG),()],([YXGE=－－dxdyyxfyxG),(),(3/5方差iiipXExXD2)]([)(jjjpYExYD2)]([)(dyyfYEyYDY)()]([)(2dxxfXExXDX)()]([)(23、二维随机变量关系特征协方差cov(x,y)cov(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))=E(XY)-E(X)E(Y)相关系数XYXY=cov(X,Y)/(√D(X)√D(Y))协方差矩阵(掌握二阶即可)C=C11=D(X1)C12=COV(X1X2)C21=COV(X2X1)C22=D(X2)其中C12=C21=COV(X1X2)=COV(X2X1)4、常见一维随机变量分布的数学期望和方差分布分布律或概率密度期望方差0-1分布),1(pbP(x=0)=1-pP(x=1)=p,0＜p＜1pp(1-p)二项分布),(pnbnkppCkXPknkkn,,1,0,)1()(npnp(1-p)泊松分布)(P(),0,1,2,!kPXkekk,λ＞0均匀分布),(baU其他,0,1)(bxaabxf2ba12)(2ab正态分布),(2N22()21()2xfxex2指数分布)(e0,00,)(xxexfx1214、随机变量特征数字的性质特征数字性质期望(均值)(),ECC)()(XCECXE,)()]([XEXEE,E(ΣXi)=ΣE(Xi),E(ΣCiXi)=ΣCiE(Xi),bXaEbaXE)()()()()(YEXEYXEE(C1X+C2Y)=C1E(X)+C2E(Y),E((X-E(X))(Y-E(Y)))=E(XY)-E(X)E(Y)当X、Y相互独立，则)()()(YEXEXYE方差0)(CD,D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X),)()(2XDabaXD,),(2)()()(YXCovYDXDYXD当X、Y相互独立，则)()()(YDXDYXD协方差与相关系数),(),(XYCovYXCov)(),(XDXXCov,),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov),(),(YXabCovdbYcaXCov当X、Y相互独立，则0),(YXCov|XY|≤1,其值越接近1，X与Y线性关系越密切当XY=0，称X与Y完全不相关，当|XY|=1，称X与Y完全相关,|XY|=1存在常数a,b使得1)(baYXP且a≠0XY=1称X与Y完全正相关，XY=-1称X与Y完全负相关当X、Y相互独立，则X,Y不相关，反之未必成立当(X,Y)～N(µ1,µ2,σ12,σ22,),则XY=,且X,Y相互独立X,Y不相关五、大数定律与中心极限定理独立同分布中心极限定理设X1，X2，…，Xn是独立同分布的随机变量序列，且),2,1(0)(,)(2kXDXEkk，记随机变量nnXYnkkn1的分布函数为Fn(x)，φ(X)为标准正态分布函数，则对任意的实数x，有①xtnkknnndtexnnXPxF.21lim)(lim212②1()()()nkkbnanPaXbnn该定理表明：①当n充分大时,独立同分布的随机变量之和Zn=ΣXi的分布近似于正态分布N(nμ,nσ2)②当n充分大时,独立同分布的随机变量的平均值X=(1/n)*ΣXi的分布近似于正态分布N(μ,(1/n)*σ2)棣莫弗中心极限定理设随机变量nX服从参数为n,p(0p1)的二项分布B(n,p),φ(X)为标准正态分布函数，则对于任意实数x,有xtnndtexpnpnpXP.21)1(lim22该定理表明：①在贝努利实验中，若事件A发生的概率为p，又设Zn为n次独立重复实验中事件A发生的频数，则当n充分大时，Zn近似服从正态分布N(np,np(1-p))②在贝努利实验中,若事件A发生的概率为p，又设Zn/n为n次独立重复试验中事件A发生的频率，则当n充分大时，Zn/n近似服