高二文科数学 导数专题复习

导数(2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：常用的导数运算法则：法则1：[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)法则2：[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)(c)′＝0(c为常数)；(xn)′＝nxn－1，n∈N*；(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex；(ax)′＝axlna(a＞0且a≠1)；(lnx)′＝1x；(logax)′＝1xlogae(a＞0且a≠1).法则3：uxvx′＝u′xvx－uxv′xv2x(v(x)≠0)1．考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都有可能．选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题；解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中高档题．2．2012年高考可能涉及导数综合题．以导数为数学工具考察，导数的物理意义及几何意义，与复合函数、数列、不等式等知识交汇．第1讲导数的概念及运算1．用定义求函数导数的步骤(1)求函数的改变量Δy；(3)取极限，得导数f′(x0)＝0limx®ΔyΔx.(2)求平均变化率ΔyΔx；2．导数的几何意义和物理意义(1)几何意义：曲线f(x)在某一点(x0，y0)处的导数是过点(x0，y0)的切线的______.(2)物理意义：若物体运动方程是s＝s(t)，在点P(t0，s(t0))处导数的意义是t＝t0处的_________.3．几种常见函数的导数c′＝0(c为常数)；(xn)′＝nxn－1(n∈R)；(sinx)′＝_______；(cosx)′＝______；(lnx)′＝1x；(logax)′＝1xlogae；(ex)′＝_____；(ax)′＝_______.2．导数的几何意义和物理意义(1)几何意义：曲线f(x)在某一点(x0，y0)处的导数是过点(x0，y0)的切线的______.斜率(2)物理意义：若物体运动方程是s＝s(t)，在点P(t0，s(t0))处导数的意义是t＝t0处的_________.瞬时速度3．几种常见函数的导数cosx－sinxexc′＝0(c为常数)；(xn)′＝nxn－1(n∈R)；(sinx)′＝_______；(cosx)′＝______；(lnx)′＝1x；(logax)′＝1xlogae；(ex)′＝_____；(ax)′＝_______.axlna4．运算法则中，坐标为整数的点的个数是()A．3B．2C．1D．0(u±v)′＝__________；(uv)′＝_______________；uv′＝_____________(v≠0)；(cu)′＝_____(c为常数)．1．在函数y＝x3－8x的图像上，其切线的倾斜角小于π4的点4．运算法则中，坐标为整数的点的个数是()DA．3B．2C．1D．0(u±v)′＝__________；(uv)′＝_______________；uv′＝_____________(v≠0)；(cu)′＝_____(c为常数)．u′±v′u′v＋uv′u′v－uv′v2cu′1．在函数y＝x3－8x的图像上，其切线的倾斜角小于π4的点2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1C．a＝1，b＝－1B．a＝－1，b＝1D．a＝－1，b＝－1fx0＋2Δx－fx03Δx)3．若lim△x02A.3＝1，则f′(x0)等于(3B.2C．3D．24．曲线y＝2x－x3在点(1,1)处的切线方程为_.2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()AA．a＝1，b＝1C．a＝1，b＝－1B．a＝－1，b＝1D．a＝－1，b＝－1fx0＋2Δx－fx03Δx)B3．若lim△x02A.3＝1，则f′(x0)等于(3B.2C．3D．2x＋y－2＝04．曲线y＝2x－x3在点(1,1)处的切线方程为___________.5．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为_______.5．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为_______.解析：y′|x＝1＝3，切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2，令x＝2，得y＝4，令y＝0，得x＝23，故所求面积为S＝12·2－23·4＝83.考点1导数概念例1：若f′(x0)＝－3，则lim△x0fx0＋h－fx0－hh等于()A．－3C．－9B．－6D．－12本题主要考查导数定义的逆向运用．在求解过程中，变换出定义式0limx®fx0＋Δx－fx0Δx＝f′(x0)是解题关键．解析：0limx®fx0＋h－fx0－hh＝0limx®fx0＋h－fx0－[fx0－h－fx0]h＝0limx®fx0＋h－fx0h＋0limx®fx0－h－fx0－h＝f′(x0)＋f′(x0)＝－6.故选B.【互动探究】等于()fx0－Δx－fx0Δx1．设函数f(x)在x0处可导，则lim△x0A．f′(x0)B．－f′(x0)C．f(x0)D．－f(x0)【互动探究】等于()fx0－Δx－fx0Δx1．设函数f(x)在x0处可导，则lim△x0A．f′(x0)B．－f′(x0)C．f(x0)D．－f(x0)Bf[x0＋－Δx]－fx0解析：lim△x0fx0－Δx－fx0Δx＝－lim△x0－Δx＝－f′(x0)，故选B.考点2曲线的几何意义例2：如图4－1－1，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.图4－1－1解题思路：区分过曲线P处的切线与过P点的切线的不同，后者的P点不一定在曲线上．解析：观察图4－1－1，设P(5，f(5))，过P点的切线方程为y－f(5)＝f′(5)(x－5)，即y＝f′(5)x＋f(5)－5f′(5)，它与y＝－x＋5重合，比较系数知：f′(5)＝－1，f(5)＝3，故f(5)＋f′(5)＝2.求切线方程时要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；若不是则需设出切点坐标．考点3导数的物理意义例3：质点做直线运动，起点为(0,0)，路程s是时间t的二次函数，且其图像经过点(1,6)，(2,16)．(1)求质点在t＝2秒时的瞬时速度；(2)球质点运动的加速度．考点3导数的物理意义例3：质点做直线运动，起点为(0,0)，路程s是时间t的二次函数，且其图像经过点(1,6)，(2,16)．(1)求质点在t＝2秒时的瞬时速度；(2)球质点运动的加速度．解析：(1)设s＝at2＋bt＋c.因函数的图像经过原点，所以c＝0.又函数图像经过(1,6)，(2,16)，所以a＋b＝64a＋2b＝16，解得a＝2b＝4，所以s＝2t2＋4t.故s′(t)＝4t＋4，则v＝s′(2)＝4×2＋4＝12.所以质点在t＝2秒时的瞬时速度为12.【互动探究】3．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是()A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒(2)因为v(t)＝4t＋4，则a＝v′(t)＝4.所以质点运动的加速度是4.函数导数的物理意义：位移函数对时间的导数等于速度，速度函数对时间的导数等于加速度．一般设位移是时间的函数s＝s(t)，则s′＝s′(t)＝v(t)是速度函数，而v＝v(t)的导数v′＝v′(t)＝a(t)是加速度函数．错源：过点求切线方程应注意该点是否为切点(1)求曲线在x＝2处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．例4：已知曲线y＝13x3＋43.错源：过点求切线方程应注意该点是否为切点(1)求曲线在x＝2处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．误解分析：注意区分曲线在点A处的切线与过点A的切线是两个不同问题．正解：(1)∵y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x=2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.例4：已知曲线y＝13x3＋43.(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，即y＝x20·x－23x30＋43.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.【互动探究】4．过点(－1,0)作抛物线y＝x2＋x＋1的切线，求切线方程．解：设所求的切线方程为：y＝k(x＋1)，∵y′＝2x＋1，设切点坐标为(x0，y0)，则切线的斜率为R＝2x0＋1，且y0＝x20＋x0＋1于是切线方程为y－x20－x0－1＝(2x0＋1)(x－x0)，因为点(－1,0)在切线上，可解得x0＝0或x0＝－2，故k＝1或k＝－3代入方程得x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0为所求．【互动探究】4．过点(－1,0)作抛物线y＝x2＋x＋1的切线，求切线方程．例5：若函数f(x)＝f′π4cosx＋sinx，则fπ4的值为________.例5：若函数f(x)＝f′π4cosx＋sinx，则fπ4的值为________.解析：∵f′(x)＝－f′π4·sinx＋cosx，∴f′π4＝－f′π4·sinπ4＋cosπ4⇒f′π4＝2－1.故fπ4＝f′π4cosπ4＋sinπ4⇒fπ4＝1.