拉普拉斯变换拉普拉斯变换表

20140107拉普拉斯变换-拉普拉斯变换表拉普拉斯变换系统的数学模型以微分方程的形式表达输出与输入的关系。经典控制理论的系统分析方法：时域法、频域法。2.数学模型与传递函数时域分析法求解数学模型微分方程，获得系统输出随时间变化的规律。借助于系统频率特性分析系统的性能，拉普拉斯变换是其数学基础。频域分析法频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。复数和复变函数复数的概念复数s=+j（有一个实部和一个虚部，和均为实数）两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。2.2拉普拉斯变换1j称为虚数单位复数的表示法对于复数s=+j复平面：以为横坐标(实轴)、为纵坐标(虚轴)所构成的平面称为复平面或[s]平面。复数s=+j可在复平面[s]中用点(,)表示：一个复数对应于复平面上的一个点。2.2.1复数和复变函数o复平面[s]12j12s1=1+j1s2=2+j2①复数的向量表示法复数s=+j可以用从原点指向点(,)的向量表示。向量的长度称为复数的模：2.2.1复数和复变函数o12js1s222rs向量与轴的夹角称为复数s的复角：)/arctan(②复数的三角函数表示法与指数表示法根据复平面的图示可得：=rcos，=rsin复数的三角函数表示法：s=r(cos+jsin)2.2.1复数和复变函数o12js1s2欧拉公式：sinjcosje复数的指数表示法：jres③复变函数、极点与零点的概念以复数s=+j为自变量构成的函数G(s)称为复变函数：G(s)=u+jv式中：u、v分别为复变函数的实部和虚部。2.2.1复数和复变函数(a)当s=-zi时，G(s)=0，则si=-zi称为G(s)的零点；分子为零分母为零通常，在线性控制系统中，复变函数G(s)是复数s的单值函数。即：对应于s的一个给定值，G(s)就有一个唯一确定的值与之相对应。)()()(jipszsksG当复变函数表示成(b)当s=-pj时，G(s)→∞，则sj=-pj称为G(s)的极点。例：当s=+j时，求复变函数G(s)=s2+1的实部u和虚部v。2.2.1复数和复变函数复变函数的实部122u复变函数的虚部2v解：G(s)＝s2+1＝(+j)2+1＝2+j(2)-2+1＝(2-2+1)+j(2)拉普拉斯变换的定义拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量s的乘积，将时间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。2.2拉普拉斯变换0d)()()(tetftfLsFst复变量原函数象函数拉氏变换符号拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数f(t)变换到复数域内与之等价的复变函数F(t)。设有时间函数f(t)，当t0时，f(t)＝0；在t≥0时定义函数f(t)的拉普拉斯变换为：拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变换存在的条件：①当t≥0时，f(t)分段连续，只有有限个间断点；②当t→∞时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即2.2.2拉普拉斯变换的定义atMetf)(在复平面上，对于Resa的所有复数s(Res表示s的实部)都使积分式绝对收敛，故Resa是拉普拉斯变换的定义域，a称为收敛坐标。式中：M、a为实常数。典型时间函数的拉普拉斯变换(1)单位阶跃函数单位阶跃函数定义：2.2拉普拉斯变换0,10,0)(1ttt0001dd)(1)(1stststestetettL其拉普拉斯变换为：sesesstt111lim0(2)单位脉冲函数单位脉冲函数定义：2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换1d)(tt且：0,00,)(ttt(0)d)()(fttft其拉普拉斯变换为：1d)()(00tststetettL(3)单位速度函数（单位斜坡函数）单位速度函数定义：2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换0,00)(ttttf其拉普拉斯变换为：00d1dststetsttetL2020011d11sestesetsststst(4)指数函数指数函数表达式：2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换atetf)(式中：a是常数。其拉普拉斯变换为：asteteeeLtasstatat1dd0)(0(5)正弦信号函数正弦信号函数定义：2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换0,sin00)(ttttf由欧拉公式，正弦函数表达为：tjtjj21sin-eetttesinjcostjtte-sinjcostj两式相减其拉普拉斯变换为：0tjtj0dj21dsinsinteeetettLst-st220t)j(t)j(j1j1j21dj21sss-tees-s--(6)余弦信号函数余弦信号函数定义：2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换0,cos00)(ttttf由欧拉公式，余弦函数表达为：tjtj21cos-eetttesinjcostjtte-sinjcostj两式相加其拉普拉斯变换为：0tjtj0d21dcoscosteeetettLst-st220t)j(t)j(j1j121d21ssss-tees-s--拉普拉斯变换的基本性质(1)线性定理若、是任意两个复常数，且：2.2拉普拉斯变换,)()(11sFtfL)()(22sFtfL证明：02121d)()()()(tetftftftfLst0201d)(d)(tetftetfstst)()(21sFsF则：)()()()(2121sFsFtftfL(2)平移定理若：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质)()(asFtfeLat证明：则：)()(sFtfL0d)()(teetftfeLstatat0)(d)(tetftas)(asF(3)微分定理若：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质)0()(d)(dfssFttfL证明：则：)()(sFtfLf(0)是t=0时的f(t)值00)(ddd)(dd)(dtfetettfttfLstst)0()(d)()(00fssFtetfstfestst同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：tfsfsFsttfLd)0(d)0()(d)(d222(3)微分定理推广到n阶导数的拉普拉斯变换：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质如果：函数f(t)及其各阶导数的初始值均为零，即)0()0()(d)(d21fsfssFsttfLnnnnn)0()0(1)(2)(n-n-fsf0)0()0()0()0()0()1()2(nnfffff则：)(d)(dsFsttfLnnn(4)积分定理若：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质则：证明：tfssFsttfLd)0(1)(1d)()()(sFtfL函数f(t)积分的初始值00d1d)(dd)(d)(ststesttftettfttfL00d)(d)(ttfsesettfstst)(1d)0(1sFstfs(4)积分定理同理，对于n重积分的拉普拉斯变换：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质tfssFsttfLnnnd)0(1)(1d)()(tfstfsnnd)0(1d)0(1)()2(1若：函数f(t)各重积分的初始值均为零，则有)(1d)()(sFsttfLnn注：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利用微分定理和积分定理，可将微分-积分方程变为代数方程。(5)终值定理若：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质则：)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFtfL证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有)0()(limdd)(dlim000fssFtettfssts由于，上式可写成1lim0stse)0()(limdd)(d00fssFtttfs)0()(lim)0()(lim0fssFftfst写出左式积分(6)初值定理若：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质则：)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFtfL证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有)0()(limdd)(dlim0fssFtettfssts由于，上式可写成0limstse)0()(lim0fssFs)(lim)0(ssFfs或者拉普拉斯反变换(1)拉普拉斯反变换的定义将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程，称之为拉普拉斯反变换。其公式：2.2拉普拉斯变换拉氏反变换的求算有多种方法，如果是简单的象函数，可直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用部分分式展开法。jjd)(πj21)(aaatsesFtf简写为：)()(1sFLtf如果把f(t)的拉氏变换F(s)分成各个部分之和，即2.2.5拉普拉斯反变换)()()()(21sFsFsFsFn假若F1(s)、F2(s)，…，Fn(s)的拉氏反变换很容易由拉氏变换表查得，那么)]([)]([)]([()]([)(121111sFLsFLsFLsFLtfn)()()(21tftftfn当F(s)不能很简单地分解成各个部分之和时，可采用部分分式展开将F(s)分解成各个部分之和，然后对每一部分查拉氏变换表，得到其对应的拉氏反变换函数，其和就是要得的F(s)的拉氏反变换f(t)函数。(2)部分分式展开法在系统分析问题中，F(s)常具有如下形式：2.2.5拉普拉斯反变换式中A(s)和B(s)是s的多项式，B(s)的阶次较A(s)阶次要高。对于这种称为有理真分式的象函数F(s)，分母B(s)应首先进行因子分解，才能用部分分式展开法，得到F(s)的拉氏反变换函数。)()(sBsAsF拉普拉斯反变换由象函数求原函数的方法：(1)利用公式dseSFjtfstjj)(21)((2)对F(S)进行部分分式展开)()()()(21SFSFSFSFn)()()()(21tftftftfn象函数的一般形式：)()()()(110110mnbSbSbaSaSaSDSNSFnnnmmmnSSnSDmn10)(.1个单根的根为，设利用部分分式F(S)分解为：nnSSkSSkSSkSF2211)(tsntstsnekekektf2121)()()()()(110110mnbSbSbaSaSaSDSNSFnnnmmm1))((11SSSSSFk2))((22SSSSSFknSSnnSSSFk))((6554)(:2SSSSF例3221