导数的概念

-1-§2导数的概念及其几何意义-2-2.1导数的概念-3-2.1导数的概念知识梳理典型透析随堂演练目标导航目标导航1.理解函数在某点处导数的定义.2.掌握由平均变化率、瞬时变化率引出函数在某点处的导数的概念的过程.-4-2.1导数的概念知识梳理典型透析随堂演练目标导航知识梳理导数的概念设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值从f(x0)变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率为Δ𝑦Δ𝑥=𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥0)𝑥1-𝑥0=𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥.当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在x0点的导数,通常用符号f'(x0)表示,记作f'(x0)=lim𝑥1→𝑥0𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥0)𝑥1-𝑥0=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥.【做一做】函数f(x)在x=x0处的导数可表示为()A.f'(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)B.f'(x0)=limΔ𝑥→0[f(x0+Δx)-f(x0)]C.f'(x0)=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥D.f'(x0)=𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥答案:C-5-2.1导数的概念知识梳理典型透析随堂演练目标导航典例透析题型一题型二题型三导数的概念的应用【例1】求函数在x=1处的导数.y=f(x)=𝑥解:f(1+Δx)-f(1)=1+Δ𝑥-1,𝑓(1+Δ𝑥)-𝑓(1)Δ𝑥=1+Δ𝑥-1Δ𝑥=11+Δ𝑥+1,∴limΔ𝑥→011+𝛥x+1=12.∴f'(1)=12.反思由导数的定义求导数是函数求导的基本方法.-6-2.1导数的概念知识梳理典型透析随堂演练目标导航典例透析题型一题型二题型三【变式训练1】已知函数求其在x=1处的导数f'(1).解:∵Δy=1+Δ𝑥3-1,∴Δ𝑦Δ𝑥=1+𝛥x3-1𝛥x=(1+Δ𝑥3-1)((1+Δ𝑥)23+1+𝛥x3+1)Δ𝑥((1+Δ𝑥)23+1+Δ𝑥3+1)=1(1+𝛥x)23+1+Δ𝑥3+1.∴𝑙𝑖𝑚𝛥x→01(1+𝛥x)23+1+Δ𝑥3+1=13.∴f'(1)=13.y=x3,-7-2.1导数的概念知识梳理典型透析随堂演练目标导航典例透析题型一题型二题型三导数在物理中的应用【例2】已知某物体关于路程与时间的函数关系如下:s=3𝑡2+2(0≤𝑡3),29+3(𝑡-3)2(𝑡≥3),求此物体在t=1和t=4时的瞬时速度.分析:求物体在t=1,t=4时的瞬时速度也就是求s(t)在t=1和t=4处的导数.-8-2.1导数的概念知识梳理典型透析随堂演练目标导航典例透析题型一题型二题型三解:当0≤t3时,s=3t2+2,Δs=s(1+Δt)-s(1),=3(1+Δt)2+2-(3+2)=6Δt+3(Δt)2,则v=limΔ𝑡→0𝛥s𝛥t=𝑙𝑖𝑚𝛥t→06Δ𝑡+3(Δ𝑡)2Δ𝑡=limΔ𝑡→0(6+3Δt)=6.当t≥3时,s=29+3(t-3)2,Δs=s(4+Δt)-s(4)=29+3(4+Δt-3)2-29-3(4-3)2=3(Δt)2+6Δt,则v=limΔ𝑡→0Δ𝑠Δ𝑡=limΔ𝑡→03(Δ𝑡)2+6Δ𝑡Δ𝑡=limΔ𝑡→0(3Δt+6)=6.故物体在t=1和t=4时的瞬时速度均为6.-9-2.1导数的概念知识梳理典型透析随堂演练目标导航典例透析题型一题型二题型三反思瞬时速度也就是函数s(t)的瞬时变化率,从而在t0处的导数就是在t0处的瞬时速度.-10-2.1导数的概念知识梳理典型透析随堂演练目标导航典例透析题型一题型二题型三【变式训练2】一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为,则t=2s时,此木块在水平方向的瞬时速度为.s=18t2解析:t=2s时瞬时速度为limΔ𝑡→018(2+𝛥t)2-18×22𝛥t=𝑙𝑖𝑚𝛥t→018(4+Δt)=12(m/s).答案:12m/s-11-2.1导数的概念知识梳理典型透析随堂演练目标导航典例透析题型一题型二题型三易错辨析易错点不理解导数的定义而致误【例3】函数f(x)在x0处可导,则limℎ→0f(x0-h)-f(x0)h=.错解:𝑙𝑖𝑚h→0𝑓(𝑥0-ℎ)-𝑓(𝑥0)ℎ=f'(x0).错因分析:没有真正掌握函数在某点处导数的求解公式,弄错符号而致误.正解:由题意可知,Δy=f(x0-h)-f(x0),则Δx=x0-h-x0=-h,则limℎ→0f(x0-h)-f(x0)h=-𝑙𝑖𝑚h→0𝑓(𝑥0-ℎ)-𝑓(𝑥0)(𝑥0-ℎ)-𝑥0=-f'(x0).答案:-f'(x0)-12-2.1导数的概念知识梳理典型透析随堂演练目标导航随堂演练1234561.设函数f(x)在x0处可导,则limΔ𝑥→0f(x0-𝛥x)-f(x0)2𝛥x等于()A.f'(x0)B.f'(-x0)C.-12f'(x0)D.-f'(-x0)解析:𝑙𝑖𝑚𝛥x→0𝑓(𝑥0-Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)2Δ𝑥=-12limΔ𝑥→0𝑓(𝑥0-Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)-Δ𝑥=-12f'(x0).答案:C-13-2.1导数的概念知识梳理典型透析随堂演练目标导航随堂演练1234562.函数y=x2-1在x=1处的导数是()A.0B.1C.2D.以上都不对答案:C-14-2.1导数的概念知识梳理典型透析随堂演练目标导航随堂演练1234563.函数f(x)在x0处可导,则()A.与x0,h都有关B.仅与x0有关,而与h无关C.仅与h有关,而与x0无关D.与x0,h均无关答案:Blimℎ→0f(x0+h)-f(x0)h-15-2.1导数的概念知识梳理典型透析随堂演练目标导航随堂演练1234564.若f(x)=x2-3x,则f'(0)=.解析:∵Δy=f(0+Δx)-f(0)=(Δx)2-3Δx-0=(Δx)2-3Δx,答案:-3∴Δ𝑦Δ𝑥=Δx-3.∴limΔ𝑥→0𝛥y𝛥x=-3.-16-2.1导数的概念知识梳理典型透析随堂演练目标导航随堂演练1234565.设f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a=.解析:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-(a+4)=aΔx,答案:2∴Δ𝑦Δ𝑥=a.∴limΔ𝑥→0𝛥y𝛥x=a=f'(1)=2.-17-2.1导数的概念知识梳理典型透析随堂演练目标导航随堂演练1234566.求函数y=f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.解:Δ𝑦Δ𝑥=-(-1+Δ𝑥)2+(-1+Δ𝑥)+2Δ𝑥=3-Δx,f'(-1)=limΔ𝑥→0𝛥y𝛥x=-(-1+𝛥x)2+(-1+𝛥x)+2𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0(3-Δx)=3.