【十年高考】(新课标1专版)高考数学分项版解析 专题10 立体几何 理

-1-【十年高考】（新课标1专版）高考数学分项版解析专题10立体几何理一．基础题组1.【2013课标全国Ⅰ，理6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()．A．500π3cm3B．866π3cm3C．1372π3cm3D．2048π3cm3【答案】：A2.【2012全国，理7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()-2-A．6B．9C．12D．18【答案】B3.【2011全国新课标，理6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为()【答案】D【解析】-3-4.【2006全国，理7】已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）（A）16π（B）20π（C）24π（D）32π【答案】C5.【2005全国1，理2】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（）A．82B．8C．42D．4【答案】B【解析】6.【2005全国1，理4】如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A．32B．33C．34D．23-4-【答案】A【解析】7.【2010新课标，理14】正视图为一个三角形的几何体可以是__________．(写出三种)答案：三棱锥、圆锥、四棱锥(答案不唯一)8.【2014课标Ⅰ，理19】(本小题满分12分)如图，三棱柱111CBAABC中，侧面CCBB11为菱形，CBAB1.-5-（Ⅰ）证明：1ABAC;（Ⅱ）若1ACAB，601CBB,BCAB,求二面角111CBAA的余弦值.AA1BB1CC1【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）17-6-zyOAA1BB1CC19.【2013课标全国Ⅰ，理18】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．-7-10.【2008全国1，理18】（本小题满分12分）四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，2BC，2CD，ABAC．（Ⅰ）证明：ADCE；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角CADE的大小．【解析】：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，ABAC，AFBC，-8-又面ABC面BCDE，AF面BCDE，AFCE．2tantan2CEDFDC，90OEDODE，90DOE，即CEDF，CE面ADF，CEAD．（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．CGAD，CEAD，AD面CEG，EGAD，则CGE即为所求二面角的平面角．233ACCDCGAD，63DG，22303EGDEDG，6CE，则22210cos210CGGECECGECGGE，10πarccos10CGE，即二面角CADE的大小10πarccos10．11.【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛【答案】B【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式12.【2015高考新课标1，理18】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.-9-【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）33-10-【考点定位】空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力13.【2016高考新课标理数1】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【答案】A【解析】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：-11-是一个球被切掉左上角的18,即该几何体是78个球，设球的半径为R，则37428ππR833V，解得R2，所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和,即22734π2π217π84，故选A．【考点】三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.14.【2016高考新课标理数1】平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α//平面CB1D1，αI平面ABCD=m，αI平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为（A）32（B）22（C）33（D）13【答案】A-12-【考点】平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.二．能力题组1.【2013课标全国Ⅰ，理8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π【答案】：A2.【2011全国，理6】已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于()A.23B．33C．63D．1-13-【答案】：C3.【2010新课标，理10】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2B.73πa2C.113πa2D．5πa2【答案】：B【解析】：如图，O1，O分别为上、下底面的中心，D为O1O的中点，则DB为球的半径，有r＝DB＝22ODOB＝2343aa＝2712a，∴S表＝4πr2＝4π×2712a＝73πa2.4.【2009全国卷Ⅰ，理7】已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A.43B.45C.47D.43【答案】：D【解析】：设棱长为2,BC的中点为D,由题意,得3AD.在Rt△A1AD中，1)3(222221ADAAAD.在Rt△A1BD中，22211BDDABA.-14-∵AA1∥CC1,∴AB与AA1所成的角∠A1AB即为AB与CC1所成的角.在△A1AB中,由余弦定理,得432222442cos1212211ABAABAABAAABA.5.【2009全国卷Ⅰ，理10】已知二面角α-l-β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为3，Q到α的距离为32，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A.2B.2C.32D.4【答案】：C-15-即当PQ⊥l时，|PQ|最小.6.【2011全国新课标，理15】已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝23，则棱锥O­ABCD的体积为__________．【答案】83【解析】-16-7.【2006全国，理13】已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为62，则侧面与底面所成的二面角等于。【答案】60°8.【2005全国1，理15】△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数m=.【答案】1【解析】-17-9.【2012全国，理19】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝12AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．(1)证明：DC1⊥BC；(2)求二面角A1－BD－C1的大小．-18-以C为坐标原点，CA的方向为x轴的正方向，CA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz．-19-故二面角A1－BD－C1的大小为30°10.【2010新课标，理18】（12分）如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．(1)证明PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【解析】：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)．(1)(理)证明：设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m＜0，n＞0)，则D(0，m,0)，E(12，2m，0)．-20-11.【2005全国1，理18】已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DE=21AB=1，M是PB的中点.（1）证明：面PAD⊥面PCD；（2）求AC与PB所成的角；（3）求面AMC与面BMC所成二面角的大小.-21--22-（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC,∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角.∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.在等腰三角形AMC中，AN·MC=ACACCM22)2(，5625223AN.∴AB=2，322cos222BNANABBNANANB故所求的二面角为).32arccos(方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，)21.-23-).32arccos(.32||||),cos(.54,530||,530||故所求的二面角为BNANBNANBNANBNANBNAN三．拔高题组1.【2014课标Ⅰ，理12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）（A）62（B）6（C）62（D）4-24-【答案】Ｂ4CABD2.【2012全国，理11】已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A．26B．36C．23D．22【答案】A3.【2011全国，理11】已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为()-25-A．7πB．9πC．11πD．13π【答案】：D【解析】：如图：OMM面，由M的面积为4，故2AM在RtOAM中，4,2,60,23OAAMOAMOMONN面，在30,RtOMNOMN中,22sin303,13ONOMNBOBON，2N(13)13的面积4.【2008全国1，理11】已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC内的射影为ABC△的中心，则1AB与底面ABC所成角的正弦值等于（）A．13B．23C．33D．23【答案】C．【解析】由题意知三棱锥1AABC为正四面体，设棱长为a，则