【免费】【内部资料】1-2-2-1(10年秋)分数裂项.教师版

1-2-2-1.分数裂项.题库教师版page1of19本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1ab形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab，那么有1111()abbaab(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)nnn，1(1)(2)(3)nnnn形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)nnnnnnnnnn裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。分数裂项计算教学目标知识点拨1-2-2-1.分数裂项.题库教师版page2of19二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11abababababba（2）2222ababababababba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。【例1】111111223344556。【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】美国长岛，小学数学竞赛【解析】原式111111115122356166提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：111113355779，计算过程就要变为：111111113355779192．【答案】56【巩固】111......101111125960【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】原式111111111()()......()101111125960106012【答案】112【巩固】2222109985443【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】原式111111112910894534112310715【答案】715【例2】111111212312100【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122，112(12)212232，……，例题精讲1-2-2-1.分数裂项.题库教师版page3of19原式22221200992(1)1122334100101101101101【答案】991101【例3】111113355799101【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】111111111150(113355799101233599101101…）【答案】50101【巩固】计算：1111251335572325【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2009年，迎春杯，初赛，六年级【解析】原式1111112512335232511251225252422512【答案】12【巩固】2512512512512514881212162000200420042008【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，台湾，小学数学竞赛，初赛【解析】原式25111111161223345005015015022511111111116223345015022515015012115165023232【答案】211532【巩固】计算：3245671255771111161622222929【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式111111111111125577111116162222292912【答案】12【例4】计算：11111111()1288244880120168224288【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，101中学【解析】原式11111282446681618（）1-2-2-1.分数裂项.题库教师版page4of191111111128224461618（）1164218（）4289【答案】4289【巩固】11111111612203042567290_______【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，第六届，走美杯，初赛，六年级【解析】根据裂项性质进行拆分为：111111116122030425672901111111123344556677889910112==2105【答案】25【巩固】11111113610152128【考点】分数裂项【难度】6星【题型】计算【关键词】2008年，第6届，走美杯，6年级，决赛【解析】原式1111112123123412345672221233478111111122233478121874【答案】74【巩固】计算：1111111112612203042567290＝【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛【解析】原式111111111()2233445566778899101111111()223349101-2-2-1.分数裂项.题库教师版page5of19111()2210110【答案】110【巩固】11111104088154238。【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式111112558811111414171111111111132558811111414171115321734【答案】534【例5】计算：1111135357579200120032005【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试【解析】原式1111111413353557200120032003200511110040034132003200512048045【答案】100400312048045【例6】74.50.1611111813153563133.753.23【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2007年，仁华学校【解析】原式791611111182901133557791331.2540.8371111111461123357913123463182442923=361-2-2-1.分数裂项.题库教师版page6of19【答案】2336【例7】计算：11111123420261220420【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】第五届，小数报，初赛【解析】原式1111112320261220420111112101223344520211111111210122334202112021012102121【答案】2021021【巩固】计算：11111200820092010201120121854108180270=。【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，学而思杯，6年级，1试【解析】原式1111120082009201020112012366991212151518111111120105912235651005054【答案】51005054【巩固】计算：1122426153577____。【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2009年，学而思杯，6年级【解析】原式132537511726153577111111111223355771111011111【答案】10111-2-2-1.分数裂项.题库教师版page7of19【巩固】计算：1111111315356399143195【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：232113，2154135，……，21951411315，所以原式11111111335577991111131315111111111213235213151112115715【答案】715【巩固】计算：15111929970198992612203097029900．【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2008年，四中【解析】原式11111111261299001119912239910011111991223991001991100198100【答案】198100【例8】111123234789【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】首先分析出11111111211211nnnnnnnnnnnn原式111111111212232334677878891112128935144