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当前位置:首页 > 高等教育 > 理学 > 二次函数动点及最值问题
一、二次函数中的最值问题:例1:在平面直角坐标系中,全等的两个三角形Rt⊿AOB与RtA’OC’如图放置,点B、C’的坐标分别为(1,3),(0,1),BO与A’C’相交于D,若⊿A’OC’绕点O旋转90°至⊿AOC,如图所示(1)若抛物线过C、A、A’,求此抛物线的解析式及对称轴;∴y=-x2+2x+3(2)、若点P是第一象限内抛物线线上的一动点,问P在何处时△APA’的面积最大?最大面积是多少?并求出此时的点P的坐标。(3)、设抛物线的顶点为N,在抛物线上是否存在点P,使△A’AN与△A’AP的面积相等?,若存在,请求出此时点P的坐标,若不存在,请说明理由。例2、(2012攀枝花)如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD是菱形,顶点A.C.D均在坐标轴上,且AB=5,sinB=.(1)求过A.C.D三点的抛物线的解析式;(2)记直线AB的解析式为y1=mx+n,(1)中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c,求当y1<y2时,自变量x的取值范围;(3)设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为E,P点为抛物线上A.E两点之间的一个动点,当P点在何处时,△PAE的面积最大?并求出面积的最大值.解答:解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=CD=BC=5,sinB=sinD=;Rt△OCD中,OC=CD•sinD=4,OD=3;OA=AD﹣OD=2,即:A(﹣2,0)、B(﹣5,4)、C(0,4)、D(3,0);设抛物线的解析式为:y=a(x+2)(x﹣3),得:2×(﹣3)a=4,a=﹣;∴抛物线:y=﹣x2+x+4.(2)由A(﹣2,0)、B(﹣5,4)得直线AB:y1=﹣x﹣;由(1)得:y2=﹣x2+x+4,则:,解得:,;由图可知:当y1<y2时,﹣2<x<5.(3)∵S△APE=AE•h,∴当P到直线AB的距离最远时,S△ABC最大;若设直线L∥AB,则直线L与抛物线有且只有一个交点时,该交点为点P;设直线L:y=﹣x+b,当直线L与抛物线有且只有一个交点时,﹣x+b=﹣x2+x+4,且△=0;求得:b=,即直线L:y=﹣x+;可得点P(,).由(2)得:E(5,﹣),则直线PE:y=﹣x+9;新课标第一网则点F(,0),AF=OA+OF=;∴△PAE的最大值:S△PAE=S△PAF+S△AEF=××(+)=.综上所述,当P(,)时,△PAE的面积最大,为.针对训练:1、(2013宜宾)如图,抛物线y1=x2﹣1交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B,将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2,两条抛物线相交于点C.(1)请直接写出抛物线y2的解析式;(2)若点P是x轴上一动点,且满足∠CPA=∠OBA,求出所有满足条件的P点坐标;(3)在第四象限内抛物线y2上,是否存在点Q,使得△QOC中OC边上的高h有最大值?若存在,请求出点Q的坐标及h的最大值;若不存在,请说明理由.解答:解:(1)抛物线y1=x2﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为(4,﹣1),所以,抛物线y2的解析式为y2=(x﹣4)2﹣1;(2)x=0时,y=﹣1,y=0时,x2﹣1=0,解得x1=1,x2=﹣1,所以,点A(1,0),B(0,﹣1),∴∠OBA=45°,联立,解得,∴点C的坐标为(2,3),∵∠CPA=∠OBA,∴点P在点A的左边时,坐标为(﹣1,0),在点A的右边时,坐标为(5,0),所以,点P的坐标为(﹣1,0)或(5,0);(3)存在.∵点C(2,3),∴直线OC的解析式为y=x,设与OC平行的直线y=x+b,联立,消掉y得,2x2﹣19x+30﹣2b=0,当△=0,方程有两个相等的实数根时,△QOC中OC边上的高h有最大值,此时x1=x2=×(﹣)=,此时y=(﹣4)2﹣1=﹣,∴存在第四象限的点Q(,﹣),使得△QOC中OC边上的高h有最大值,此时△=192﹣4×2×(30﹣2b)=0,解得b=﹣,∴过点Q与OC平行的直线解析式为y=x﹣,令y=0,则x﹣=0,解得x=,设直线与x轴的交点为E,则E(,0),过点C作CD⊥x轴于D,根据勾股定理,OC==,则sin∠COD==,解得h最大=×=.2、如图,抛物线)0(2232axaxy的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为0,4.(1)求抛物线的解析式;(2)试探究ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求MBC的面积的最大值,并类型一、最值问题:类型一、最值问题:(2013•泸州)如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(﹣2,0),点B的坐标为(1,﹣),已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过三点A、B、O(O为原点).(1)求抛物线的解析式;(2)在该抛物线的对称轴上,是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.(注意:本题中的结果均保留根号)考点:二次函数综合题.3338333分析:(1)直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式,可求解析式;(2)因为点A,O关于对称轴对称,连接AB交对称轴于C点,C点即为所求,求直线AB的解析式,再根据C点的横坐标值,求纵坐标;(3)设P(x,y)(﹣2<x<0,y<0),用割补法可表示△PAB的面积,根据面积表达式再求取最大值时,x的值.解答:解:(1)将A(﹣2,0),B(1,﹣),O(0,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c(a≠0),可得:,ABCMOxy解得:,故所求抛物线解析式为y=﹣x2﹣x;(2)存在.理由如下:如答图①所示,∵y=﹣x2﹣x=﹣(x+1)2+,∴抛物线的对称轴为x=﹣1.∵点C在对称轴x=﹣1上,△BOC的周长=OB+BC+CO;∵OB=2,要使△BOC的周长最小,必须BC+CO最小,∵点O与点A关于直线x=﹣1对称,有CO=CA,△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA,∴当A、C、B三点共线,即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时,BC+CA最小,此时△BOC的周长最小.设直线AB的解析式为y=kx+t,则有:,解得:,∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣,当x=﹣1时,y=﹣,∴所求点C的坐标为(﹣1,﹣);(3)设P(x,y)(﹣2<x<0,y<0),则y=﹣x2﹣x①如答图②所示,过点P作PQ⊥y轴于点Q,PG⊥x轴于点G,过点A作AF⊥PQ轴于点F,过点B作BE⊥PQ轴于点E,则PQ=﹣x,PG=﹣y,由题意可得:S△PAB=S梯形AFEB﹣S△AFP﹣S△BEP=(AF+BE)•FE﹣AF•FP﹣PE•BE=(y++y)(1+2)﹣y•(2+x)﹣(1﹣x)(+y)=y+x+②将①代入②得:S△PAB=(﹣x2﹣x)+x+=﹣x2﹣x+=﹣(x+)2+∴当x=﹣时,△PAB的面积最大,最大值为,此时y=﹣×+×=,∴点P的坐标为(﹣,).类型二、探索三角形的存在性。例1、(2013•绵阳)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为(0,﹣2),交x轴于A、B两点,其中A(﹣1,0),直线l:x=m(m>1)与x轴交于D.(1)求二次函数的解析式和B的坐标;(2)在直线l上找点P(P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求点P的坐标(用含m的代数式表示);(3)在(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在第一象限内的点Q,使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.考点:二次函数综合题分析:(1)由于抛物线的顶点C的坐标为(0,﹣2),所以抛物线的对称轴为y轴,且与y轴交点的纵坐标为﹣2,即b=0,c=﹣2,再将A(﹣1,0)代入y=ax2+bx+c,求出a的值,由此确定该抛物线的解析式,然后令y=0,解一元二次方程求出x的值即可得到点B的坐标;(2)设P点坐标为(m,n).由于∠PDB=∠BOC=90°,则D与O对应,所以当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时,分两种情况讨论:①△OCB∽△DBP;②△OCB∽△DPB.根据相似三角形对应边成比例,得出n与m的关系式,进而可得到点P的坐标;(3)假设在抛物线上存在第一象限内的点Q(x,2x2﹣2),使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形.过点Q作QE⊥l于点E.利用AAS易证△DBP≌△EPQ,得出BD=PE,DP=EQ.再分两种情况讨论:①P(m,);②P(m,2(m﹣1)).都根据BD=PE,DP=EQ列出方程组,求出x与m的值,再结合条件x>0且m>1即可判断不存在第一象限内的点Q,使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形.解答:解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为C(0,﹣2),∴b=0,c=﹣2;∵y=ax2+bx+c过点A(﹣1,0),∴0=a+0﹣2,a=2,∴抛物线的解析式为y=2x2﹣2.当y=0时,2x2﹣2=0,解得x=±1,∴点B的坐标为(1,0);(2)设P(m,n).∵∠PDB=∠BOC=90°,∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时,分两种情况:①若△OCB∽△DBP,则=,即=,解得n=.由对称性可知,在x轴上方和下方均有一点满足条件,∴此时点P坐标为(m,)或(m,);②若△OCB∽△DPB,则=,即=,解得n=2m﹣2.由对称性可知,在x轴上方和下方均有一点满足条件,∴此时点P坐标为(m,2m﹣2)或(m,2﹣2m).综上所述,满足条件的点P的坐标为:(m,),(m,),(m,2m﹣2)或(m,2﹣2m).(3)假设在抛物线上存在第一象限内的点Q(x,2x2﹣2),使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形.如图,过点Q作QE⊥l于点E.∵∠DBP+∠BPD=90°,∠QPE+∠BPD=90°,∴∠DBP=∠QPE.在△DBP与△EPQ中,,∴△DBP≌△EPQ,∴BD=PE,DP=EQ.分两种情况:①当P(m,)时,∵B(1,0),D(m,0),E(m,2x2﹣2),∴,解得,(均不合题意舍去);②当P(m,2(m﹣1))时,∵B(1,0),D(m,0),E(m,2x2﹣2),∴,解得,(均不合题意舍去);综上所述,不存在满足条件的点Q.类型三、探究二次函数与圆:(2013•巴中)如图,在平面直角坐标系中,坐标原点为O,A点坐标为(4,0),B点坐标为(﹣1,0),以AB的中点P为圆心,AB为直径作⊙P的正半轴交于点C.(1)求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式;(2)设M为(1)中抛物线的顶点,求直线MC对应的函数解析式;(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系,并证明你的结论.考点:二次函数综合题;解二元一次方程组;待定系数法求一次函数解析式;二次函数的最值;待定系数法求二次函数解析式;勾股定理;勾股定理的逆定理;切线的判定.245761专题:计算题.分析:(1)求出半径,根据勾股定理求出C的坐标,设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a(x﹣4)(x+1),把C(0,2)代入求出a即可;(2)求出M的坐标,设直线MC对应函数表达式是y=kx+b,把C(0,2),M(,)代入得到方程组,求出方程组的解即可;(3)根据点的坐标和勾股定理分别求出PC、DC、PD的平方,根据勾股定理的逆定理得出∠PCD=90°,即可求出答案.解答:解:(1)∵A(4,0),B(﹣1,0),∴AB=5,半径是PC=PB=PA=,∴OP=﹣1=,在△CPO中,由勾股定理得:OC==2,∴C(0,2),设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a(x﹣4)(x+1),把C(0,2)代入得:2=a(0﹣4)(0+1),∴a=﹣,∴y=﹣(x﹣4)(x+1)=﹣x2+x+2,答:经过A、B、C三点抛物线解析式是y=﹣x2+x+2.(2)y=﹣x2+x+2=﹣+,M(,),
本文标题:二次函数动点及最值问题
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