概率论与数理统计11 2.6 函数的分布

随机变量函数的分布•复习)()(}{)(1}{)(}{),(~)(1)()()(}{)(1}{)(}{),1,0(~2abbXaPaaXPaaXPNXxxabbXaPaaXPaaXPNX•例设•解),2,3(~2NX};2|{|},3{},54{)1(XPXPXP求}{c}{c)2(cXPXP使得确定5.0)0(1)233(1}3{8413.0)5.3(1)1(}5.3()1()234()235(}54{2,3XPXP7117.0)5.0(11)5.2(1)5.0(1)5.2()232(1)232(}2{}2{}2|{|XPXPXP3,0235.0)23(,1)23(2)23()23(1},{}{cccccccXPcXP•第五节随机变量函数的分布•X——分子运动的速度;•——分子运动的动能,•X为随机变量,Y也为随机变量;•设X为随机变量,Y=g(X)也为随机变量,•问题:已知X的概率分布或X的概率密度要求Y的概率分布或概率密度221mXY•一离散型随机变量•例运气比赛.比赛规则:掷骰子,掷出i点,得分,用X表示掷出的点数,Y表示所得分数,试求Y的概率分布.•解:X的概率分布为•2i2XY•X=1,X=2,X=3,X=4,X=5,X=6,•Y=1,Y=4,Y=9,Y=16,Y=25,Y=36•其概率分布为•例设X的概率分布为•求的分布•解X=0X=1X=2X=3•Y=4Y=1Y=0Y=1•P{Y=0}=P{X=2}=5/182)2(XY•P{Y=4}=P{X=0}=1/6•Y的概率分布为959231}3{}1{}1)2{(}1{2XPXPXPYP•例设X的概率分布为•求•解Y的概率分布为2XY•二连续型随机变量•例设X的概率密度为•求Y=aX+b的概率密度.•解:)(xfX}{1}{)(,0)(1)()()(}{)(,0}{}{)(abyXPabyXPyFaabyfayFyfdxxfabyXPyFaybaXPyYPyFYXYabyXYY)(||1)(abyfayfXY)(1)()(abyfayFyfXYabyXdxxf)(1•例设,•求(1)Y=aX+b的概率密度;•(2)的概率密度.•解),(~2NXXY2222)(212)(21||1)(||1)()1(21)(abyXYuxXeaabyfayfexf•正态分布经线性变换后仍为正态分布.)1,0(~1,0,,1)2(),(~||2122222)]([222NXYababaabauNbaXYeaabay•例设X服从[1,5]上的均匀分布,求Y=2X+1的概率密度.•解•均匀分布经线性变换后仍为均匀分布其它其它其它011381052114121)21(21)(05141)(yyyfyfxxfXYX•例设X的概率密度为•的概率密度.•解2),(XYxfX求)21)(()21)(()()()()()(}{)(,0)2(0)()(,0)()(,0)1(}{}{)('002yyfyyfyFyfdxxfdxxfdxxfyXyPyFyyFyfPyFyyXPyYPyFXXYyXyXyyXYYYY•例设X~N(0,1),求•的概率密度•解000)]()([21)()]()([21yyyfyfyyfyfyfyXXYXX2221)(xXexf2XY•此时称Y服从自由度为1的的分布22221]2121[y21yyyeyee2)]()([21)(,0yfyfyyfyXXY00021)(2yyeyyfyY•例设X服从(-2,5)上的均匀分布,求•的概率分布•解yyyfyyfyfyyfxxfYXXYX71)7171(21)(40)]()([21)(0,y05271)(时，其它2XY其它02541414071)(0)(,25141)710(21)(,254yyyyyfyfyyyyfyYYY•定理:设•是x的单调可导函数,,记•的反函数,•则的概率密度为•这里a可以是,b可以是.)(),(~xgyxfXX0)(xg)(y)(xgyhx是其它0)]([|)(|)(byayhfyhyfXYbxga)()(XgY•例设,求Y的概率密度.•解XeYNX),1,0(~0,)(,ln)(21)(122yyhxyyhxxexfyxX0002110y00y)]([|)(|)(2)(ln2yyeyyhfyhyfyXY00021)(211)(ln1)()()()ln()(,00)()(,0)()(,0)()()(:2)(ln2)(lnln22yyeyyfeyyfyyFyfdxxfYXPyFyyFyfPyFyyePyYPyFyYyXYYyXYYYYXY解法二