等比数列及其前n项和-高考数学知识点总结-高考数学真题复习

§6.3等比数列及其前n项和2014高考会这样考1.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定；2.运用基本量法求解等比数列问题；3.考查等比数列的应用问题．复习备考要这样做1.注意方程思想在解题中的应用；2.使用公式要注意公比q＝1的情况；3.结合等比数列的定义、公式，掌握通性通法．1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q__表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.3．等比中项若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__.[难点正本疑点清源]1．等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小．3．两个防范(1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．1．(2012·辽宁)已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.答案2n解析先判断数列的项是正数，再求出公比和首项．a25＝a100，根据已知条件得21q＋q＝5，解得q＝2.所以a21q8＝a1q9，所以a1＝2，所以an＝2n.2．在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.答案51解析由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a28，a3a5＝a24，得a24＋a28＝41.因为a4a8＝5，所以(a4＋a8)2＝a24＋2a4a8＋a28＝41＋2×5＝51.又an0，所以a4＋a8＝51.3．已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则ax＋cy＝________.答案2解析令a＝1，b＝3，c＝9，则由题意，有x＝2，y＝6.此时ax＋cy＝12＋96＝2.4．(2011·广东)已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.答案2解析由a2＝2，a4－a3＝4，得方程组a2＝2，a2q2－a2q＝4，⇒q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1.又{an}是递增等比数列，故q＝2.5．(2012·课标全国)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于()A．7B．5C．－5D．－7答案D解析方法一由题意得a4＋a7＝a1q3＋a1q6＝2，a5a6＝a1q4×a1q5＝a21q9＝－8，∴q3＝－2，a1＝1或q3＝－12，a1＝－8，∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.方法二由a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8解得a4＝－2，a7＝4或a4＝4，a7＝－2.∴q3＝－2，a1＝1或q3＝－12，a1＝－8，∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.题型一等比数列的基本量的计算例1等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.思维启迪：(1)由S1，S3，S2成等差数列，列方程求出q.(2)由a1－a3＝3求出a1，再由通项和公式求出Sn.解(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)．由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－12.(2)由已知可得a1－a1－122＝3.故a1＝4.从而Sn＝4[1－－12n]1－－12＝831－－12n.探究提高等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝329，且公比q∈(0,1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．解(1)∵a3·a4＝a1·a6＝329，又a1＋a6＝11，故a1，a6可看作方程x2－11x＋329＝0的两根，又q∈(0,1)，∴a1＝323，a6＝13，∴q5＝a6a1＝132，∴q＝12，∴an＝323·12n－1＝13·12n－6.(2)由(1)知Sn＝6431－12n＝21，解得n＝6.题型二等比数列的性质及应用例2在等比数列{an}中，(1)若已知a2＝4，a5＝－12，求an；(2)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．思维启迪：注意巧用性质，减少计算．如：对于等比数列{an}，若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am·an＝ap·aq；若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am·an＝a2p.解(1)设公比为q，则a5a2＝q3，即q3＝－18，∴q＝－12，∴an＝a5·qn－5＝－12n－4.(2)∵a3a4a5＝8，又a3a5＝a24，∴a34＝8，a4＝2.∴a2a3a4a5a6＝a54＝25＝32.探究提高在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于()A．52B．7C．6D．42(2)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，且S3＝8，S6＝7，则a4＋a5＋…＋a9＝________.答案(1)A(2)－78解析(1)把a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9看成一个整体，则由题意，知它们分别是一个等比数列的第1项，第4项和第7项，这里的第4项刚好是第1项与第7项的等比中项．因为数列{an}的各项均为正数，所以a4a5a6＝a1a2a3·a7a8a9＝5×10＝52.(2)根据等比数列的性质，知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即8,7－8，S9－7成等比数列，所以(－1)2＝8(S9－7)．解得S9＝718.所以a4＋a5＋…＋a9＝S9－S3＝718－8＝－78.题型三等比数列的判定例3已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．思维启迪：(1)由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1转化成an与an＋1的递推关系，再构造数列{an－1}．(2)由cn求an再求bn.(1)证明∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴an＋1－1an－1＝12，∴{an－1}是等比数列．又a1＋a1＝1，∴a1＝12，∵首项c1＝a1－1，∴c1＝－12，公比q＝12.又cn＝an－1，∴{cn}是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)解由(1)可知cn＝－12·12n－1＝－12n，∴an＝cn＋1＝1－12n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1＝12n－1－12n＝12n.又b1＝a1＝12代入上式也符合，∴bn＝12n.探究提高注意判断一个数列是等比数列的方法，另外第(2)问中要注意验证n＝1时是否符合n≥2时的通项公式，能合并的必须合并．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．证明∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.∴an＋1＝2an，又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.又由an＋1＝2an知an≠0，∴an＋1an＝2.∴{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列．∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.等差与等比数列综合性问题的求解典例：(14分)(2011·湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．审题视角设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d，从而求出数列{bn}的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问．规范解答(1)解设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d，依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.[2分]所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．[4分]故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.所以{bn}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝54·2n－1＝5·2n－3.[7分](2)证明数列{bn}的前n项和Sn＝541－2n1－2＝5·2n－2－54，即Sn＋54＝5·2n－2.[9分]所以S1＋54＝52，Sn＋1＋54Sn＋54＝5·2n－15·2n－2＝2.因此Sn＋54是以52为首项，2为公比的等比数列．[14分]答题模板求解等差和等比数列综合性问题的一般步骤：第一步：设等比数列、等差数列的基本量；第二步：根据条件列方程，解出基本量；第三步：根据公式求通项或前n项和；第四步：根据定义证明等差、等比数列；对于等比数列，一定要说明首项非零．温馨提醒关于等差(比)数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件．容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，不注意对根的符号进行判断；二是不能灵活运用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．方法与技巧1．等比数列的判定方法有以下几种：(1)定义：an＋1an＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(2)通项公式：an＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(3)等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．2．方程观点以及基本量(首项和公比a1，q)思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五个量中，知三求二．3．在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意性质的应用，以减少运算量而提高解题速度．失误与防范1．特别注意q＝1时，Sn＝na1