蒲丰投针问题-概率论论文

Buffon投针问题摘要本文讨论了Buffon投针问题的解法及其不同解法之间的内在联系，同时从投针到投平面图形对Buffon投针问题给出了一些推广，并得到一般的结论，指出了其概率在探矿、近似计算中的应用。关键词蒲丰投针概率随机试验近似计算一、引言蒲丰投针问题是由法国科学家蒲丰（Buffon）在1777年提出的，它是概率中非常有代表性的问题，它是第一个用几何形式表达概率问题的例子，其结论具有很强的理论与实际意义。蒲丰针问题的解决不仅较典型的反应了集合概率的特征及处理方法，而且还可以由此领略到从“概率土壤”上开出的一朵瑰丽的鲜花——蒙特卡洛（Monte-Carlo）方法。二、Buffon投针问题及其解法Buffon投针问题：平面上画有等距离的平行线，每两条平行线之间的距离为2a，向平面任意投掷一枚长为2l(la)的针，试求针与平行线相交的概率。解：以x表示针的中点M到最近一条平行线的距离，以φ表示该针与平行线的夹角。针与平行线的关系见图1.则有：0≤x≤a，0≤φ≤π，由它们所围成的矩形区域记为𝐺1。针与平行线相交的充要条件是：0≤x≤lsinφ，记满足这个关系的区域为𝑔1(图2中的阴影部分)。则所求概率为𝑃1=𝑔1的面积𝐺1的面积=∫lsinφdφπ0𝑎π=2l𝑎π三、Buffon投针问题不同解法及其内在联系上述解法是常见解法之一(记为解法一)，这里讨论一下蒲丰针问题的其他解法及其之间的联系。1.其他解法解法二：以x表示针的重点M到最近一条平行线的距离，y表示该针在此平行线上投影和长度，如图3所示。易知x和y的取值范围是0≤x≤a，0≤y≤2l，这两个不等式确定了xOy平面上的矩形区域𝐺2，针与平行线相交的充要条件是(𝑦2)2+𝑥2≤𝑙2，该不等式确定了矩形区域𝐺2(如图4所示)中的区域𝑔2，从而所求概率为𝑃2=𝑔2的面积𝐺2的面积=14·l·2l·π2l·a=𝑙π4a解法三：作垂直于平行线的直线，在该直线上选定一方向为正向，用𝑧1，𝑧2分别表示针头与针尾关于某平行线的纵坐标(如图5所示)，该平行线的选取应使|𝑧1+𝑧2|≤2a。注意到𝑧1，𝑧2满足|𝑧1−𝑧2|≤2l，则在平面𝑧1𝑂𝑧2上确定了矩形区域𝐺3中的子集𝑔3(如图6所示)，因此，所求概率为𝑃3=𝑔3的面积𝐺3的面积=(2𝑙)22√2𝑎·2√2𝑙=𝑙2𝑎2.矛盾产生的原因三种解法得出三种完全不同的结果，直观上看，是由于它们所用的随机变量不同，但本质上，则是由于它们选择的假设条件不同。解法一依据的假设：假设1针的中点到平行线的距离X和针与平行线的夹角∅所构成的二维随机向量(X,∅)服从𝐺1上的均匀分布；解法二依据的假设：假设2针的中点到平行线的距离X和针与平行线上的投影长度Y构成的二维随机向量(X,Y)服从𝐺2上的均匀分布；解法三依据的假设：假设3针的两个端点到平行线的距离𝑍1，𝑍2构成的二维随机向量(𝑍1,𝑍2)服从𝐺3上的均匀分布。上述三种假设是不能同时成立的。这可由以下几个命题看出：命题1若随机向量(X,∅)服从[0,a]×[0,π]上的均匀分布，则(1)随机向量(X,Y)=(X,2lcos∅)的分布密度函数为：P1(x,y)={1𝑎π·1√4𝑙2−𝑦2x∈[0,a],y∈[−2l,2l]0其它(1)(2)随机向量(𝑍1,𝑍2)=(X+lsin∅,X-lsin∅)的分布函数为：P2(𝑧1,𝑧2)={1𝑎π·1√4𝑙2−(𝑧1−𝑧2)2|𝑧1−𝑧2|≤2l,|𝑧1+𝑧2|2a0其它(2)命题2若随机向量(X,Y)服从[0,a]×[-2l,2l]上的均匀分布，则(1)随机向量(X,∅)=(X,arccos𝑌2𝑙)的分布密度函数为：P3(x,φ)={sinφ2𝑎x∈[0,a],y∈[0,φ]0其它(3)(2)随机向量(𝑍1,𝑍2)=(X+l√1−(𝑌2𝑙)2,X−l√1−(𝑌2𝑙)2)的分布密度为：P4(𝑧1,𝑧2)={14l𝑎·𝑧1−𝑧2√4𝑙2−(𝑧1−𝑧2)2|𝑧1−𝑧2|≤2l,|𝑧1+𝑧2|2a0其它(4)命题3若随机向量(𝑍1,𝑍2)服从区域𝐺3:|𝑧1−𝑧2|≤2l,|𝑧1+𝑧2|2a上的均匀分布，则(1)随机向量(X,∅)=(𝑍1+𝑍22,arcsin𝑍1−𝑍22𝑙)的分布密度为：P5(x,φ)={cosφ4𝑎x∈[−a,a],φ∈[−π2,π2]0其它(5)(2)随机向量(X,Y)=(𝑍1+𝑍22,√4𝑙2−(𝑍1−𝑍2)2)的分布密度为：P6(x,y)={18𝑙𝑎·|𝑦|√4𝑙2−𝑦2x∈[−a,a],y∈[−2l,2l]0其它(6)也就是说，在假设1成立时，随机向量(X,Y)和(𝑍1,𝑍2)已不再服从均匀分布，而是分别服从密度函数为(1)和(2)的分布；在假设2成立时，随机向量(X,∅)和(𝑍1,𝑍2)分别服从密度为(3)和(4)的分布；在假设3成立时，随机向量(X,∅)和(X,Y)分别服从密度为(5)和(6)的分布。3.各种解法的联系对同一问题，在相同的假设条件下，使用不同的方法求解，所得到的结果应该是一致的。对蒲丰问题也不例外，因此，我们断言：(1)在假设1成立的条件下，用随机向量(X,Y)或(𝑍1,𝑍2)求解蒲丰问题，所得到的结果与解法一相同；(2)在假设2成立的条件下，用随机向量(X,∅)或(𝑍1,𝑍2)求解蒲丰问题，所得到的结果与解法二相同；(3)在假设3成立的条件下，用随机向量(X,∅)或(X,Y)求解蒲丰问题，所得到的结果与解法三相同；下面给出断言1的证明，其余类似。为叙述方便，把断言1改述成如下两个问题。问题1设随机向量(X,∅)服从[0,a]×[0,π]上的均匀分布，并且(X,Y)=(X,2lcos∅)(la)，求证P((𝑌2)2+𝑋2≤𝑙2)=2𝑙𝜋𝑎.证由命题一可知，随机向量(X,Y)的密度函数为(1)式。通过积分计算得P((𝑌2)2+𝑋2≤𝑙2)=∬P1(x,y)dxdy(𝑦2)2+𝑥2≤𝑙2=∫1𝜋𝑎𝑑𝑥10∫1√4𝑙2−𝑦2𝑑𝑦2√2𝑙2−𝑥2−2√2𝑙2−𝑥2=2l𝑎π证毕。问题2设随机向量(X,∅)服从[0,a]×[0,π]上的均匀分布，并且(𝑍1,𝑍2)=(X+lsin∅,X-lsin∅)(la)，求证P(𝑍1𝑍2≤0)=2l𝑎π.证由命题一可知，随机向量(𝑍1,𝑍2)的密度函数为(2)式，通过积分计算得P(𝑍1𝑍2≤0)=∬P2(𝑧1,𝑧2)d𝑧1d𝑧2𝑧1𝑧2≤0=∫1𝑎πd𝑧10−2l∫𝑑𝑧2√4𝑙2−(𝑧1−𝑧2)22l+𝑧10=2l𝑎π证毕。四、Buffon投针问题的推广1.二维空间中的蒲丰投针问题1.1把针替换成三角形时的蒲丰问题设平面上画有等距离l(l0)的平行线，向平面上任意投掷一个以a，b，c为边长的三角形，且al，bl，cl时，求三角形与平行线相交的概率。解1)当三角形与平行线相交时，有下列4中情形：①三角形只有一个顶点在一条平行线上，即三角形与平行线只有一个交点(如图1(a)所示)；②三角形有两条边分别与平行线相交，交点有2个(如图1(b)所示)；③三角形的某一个顶点在一条平行线上，其对应边也在同一条平行线上(如图1(c)所示)；④三角形的某一条边与以平行线重合，此时认为三角形与平行线的交点有无穷多个(如图1(d)所示)。2)由于三角形的三个顶点及三条边所占有的区域面积为零，在集合概率中，其概率也为零。因此，三角形与平行线相交的概率在数值上等于三角形中有两条边与平行线相交时的概率，即P3=P(ab)+P(bc)+P(ac).3)考虑三角形中有两条边与平行线相交的情况①投掷三角形时，若只考虑三角形的a边与平行线是否相交，则a与平行线相交的概率仍然符合蒲丰投针问题，故三角形的a边与平行线相交的概率为P(a)=2aπl，同理有P(b)=2bπl，P(c)=2𝑐πl。②由假设，三角形中有两条边与平行线相交。所以，当三角形的a边与平行线相交时，必然导致b或c边与平行线相交，即：P(a)=P(ab)+P(ac)，同理有P(b)=P(ab)+P(bc)，P(c)=P(ac)+P(bc)。三式相加得P(a)+P(b)+P(c)=2[P(ab)+P(bc)+P(ac)],所以：P3=P(ab)+P(bc)+P(ac)=P(a)+P(b)+P(c)2=𝑎+b+cπl。1.2把针替换成四边形时的蒲丰问题平面上画有等距离l(l0)的平行线，向平面上任意投掷一个以a，b，c，d为边长的四边形，此四边形的两条对角线分别为e，f，且al，bl，cl，dl，el，fl时，求四边形与平行线相交的概率。解1)和三角形与平行线相交的讨论类似，四边形与平行线相交也有5种情形：①四边形只有一个顶点在一条平行线上(1个交点)(如图2(a)所示)；②四边形有两条边分别与平行线相交(2个交点)(如图2(b)所示)；③平行线过四边形的对角线(2个交点)(如图2(c)所示)；④四边形的某一顶点恰好在平行线上，其对应的某一边也在同一条平行线上(2个交点)(如图2(d)所示)；⑤四边形的某一条边与平行线重合(无穷多个交点)(如图2(e)所示)。因为四边形的四个顶点及四条边所占有的区域为零，在集合概率中，其概率也为零。因此，四边形与平行线相交的概率在数值上等于四边形中有两条边与平行线相交的概率，即P4=P(ab)+P(ac)+P(ad)+P(bc)+P(bd)+P(cd)。2)对四边形的每一条边进行单独考虑，并假设四边形与平行线相交时，四边形有两条边与平行线相交。有蒲丰投针问题可得：P(a)=2𝑎𝜋𝑙=P(ab)+P(ac)+P(ad)，P(b)=2𝑏𝜋𝑙=P(ab)+P(bc)+P(bd)，P(c)=2𝑐𝜋𝑙=P(ac)+P(bc)+P(cd)，P(d)=2𝑑𝜋𝑙=P(ad)+P(𝑏𝑑)+P(cd)，四式相加，得：P4=P(ab)+P(ac)+P(ad)+P(bc)+P(bd)+P(cd)=𝑎+b+c+d𝜋𝑙。1.3把针替换成硬币时的蒲丰问题平面上画有等距离l(l0)的平行线，向平面上任意投掷一个半径为r(r𝑙2)的硬币时，求硬币与平行线相交的概率。解硬币是否与平行线相交，由硬币圆心到离它最近的平行线的距离R是否小于r来决定，当Rr时，硬币与平行线不相交；当R≤r时，硬币与平行线相交。而硬币圆心到最近的一条平行线的距离在0到𝑙2之间变化，设Ω={R|0≤R≤𝑙2}，G={R|0≤R≤r}，则由几何概率公式得硬币与平行线相交的概率P0=𝑚(𝐺)𝑚(𝛺)=𝑟𝑙/2=2𝑟𝑙。1.4当投掷物是一般的平面凸曲线时的蒲丰问题平面内任何一个凸曲线，都可以有一列凸多边形来逼近（当凸多边形的边数趋于无穷大时），在这列凸多边形中取极限的过程，就可得到凸曲线。例如，圆可以由正n边形来逼近(n→∞)。因此，可以不加证明地指出：平面凸曲线的蒲丰问题与凸多边形的蒲丰问题有相同的结果，也就是说，平面上画有等距离l(l0)的平行线，向平面上任意投掷一个直径为d(dl)的二维凸曲线，设凸曲线周长为c，则凸曲线与平行线相交的概率为P=𝑐𝜋𝑙。2.蒲丰投针问题在三维空间中的初步推广2.1把针替换成正四面体时的蒲丰问题平面上画有等距离l(l0)的平行线，向平面上任意投掷一个以a为棱长的正四面体，且al,求正四面体与平行线相交的概率。投掷一个正四面体，落到由平行线构成的平面上时，总有且只有一个面与之接触。又因为正四面体的四个面是全等的等边三角形，因此不管是正四面体的哪一个面与平面接触，正四面体与平行线相交的概率在数值上等于正四面体的任一个面与平行线相交的概率。由前面的讨论知，在蒲丰问题中，以a为边长的等边三角形与平行线相交的概率为𝑃3=3𝑎