21.4-二重积分的变量--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

一、二重积分的变量变换公式二、二重积分的极坐标变换三、二重积分的广义极坐标变换二重积分是定积分在平面上的推广,不同之处在于:定积分定义在区间上,区间的长度容易计算,而二重积分定义在平面区域上,其面积的计算要复杂得多.§4二重积分的变量变换数学分析第二十一章重积分*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析第二十一章重积分高等教育出版社在定积分的计算中,我们得到了如下结论:[,]ab()xtt在区间上连续,当从变到时严格单调地从a变到b,且()t连续可导,()d(())()d.(1)bafxxfttt()0t[,],[,],XabY当(即)时,记则1(),().XYYX写成§4二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换二重积分的变量变换公式则()fx设利用这些记号,公式(1)又可数学分析第二十一章重积分高等教育出版社1()()d(())()d.(2)XXfxxfttt()0t当(即)时,(1)式可写成1()()d(())()d.(3)XXfxxfttt故当()t为严格单调且连续可微时,(2)式和(3)式可统一写成如下的形式:1()()d(())|()|d.(4)XXfxxfttt下面要把公式(4)推广到二重积分的场合.为此先给出下面的引理.§4二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换数学分析第二十一章重积分高等教育出版社引理设变换:(,),(,)Txxuvyyuv将uv平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域,映成xy平面上的闭区域D.内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式(,)(,)0,(,),(,)xyJuvuvuv则区域D的面积()|(,)|dd.DJuvuv(5)§4二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换一对一地(,),(,)xuvyuv在函数数学分析第二十一章重积分高等教育出版社(,)yuv证下面给出当在内具有二阶连续偏导数时的证明.(注:对(,)yuv具有一阶连续偏导数条件下的一般证明,将在本章§9中给出.)(,)0,Juv由于T是一对一变换,且因而T把的内点变为D的内点,DL也变换为D的按段光滑边界曲线.设曲线L的参数方程为(),()().uutvvttL(),()utvt[,]由于按段光滑,因此在上至多除§4二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换L的按段光滑边界曲线所以去有限个第一类间断点外,在其他的点上都连续.数学分析第二十一章重积分高等教育出版社(),DLTL又因DL所以的参数方程为()((),())().()((),())xxtxutvttyytyutvttDL若规定从变到时,对应于的正向,林公式,取(,)0,(,),PxyQxyx有()dDLDxy((),())()()d.(6)yyxutvtutvttuv§4二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换则根据格()()dxtytt另一方面,在uv平面上(,)ddLyyxuvuvuv数学分析第二十一章重积分高等教育出版社((),())()()d,(7)yyxutvtutvttuvtL其中正号及负号分别由从变到时,是对应于的正方向或负方向所决定.()(,)ddLyyDxuvuvuv§4二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换由(6)及(7)式得到(,)d(,)d.Lyyxuvuxuvvuv令(,)(,),(,)(,),yyPuvxuvQuvxuvuv在uv平面上对上式应用格林公式,得到数学分析第二十一章重积分高等教育出版社()dd.QPDuvuv(,)yuv由于函数具有二阶连续偏导数,,2yvu(,),QPJuvuv因此§4二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换()(,)dd.DJuvuv()D(,)Juv又因为总是非负的,而在上不为零且连续,故其函数值在上不变号,()|(,)|dd.DJuvuv于是2yuv即有所以数学分析第二十一章重积分高等教育出版社定理21.13一阶连续偏导数且它们的函数行列式(,)(,)0,(,),(,)xyJuvuvuv(,)dd((,),(,))|(,)|dd.DfxyxyfxuvyuvJuvuv则有§4二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换设(,)fxy在有界闭区域D上可积,变换:(,),(,)Txxuvyyuv将uv平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成xy平面上的闭区域D,(,),(,)xuvyuv在内分别具有函数数学分析第二十一章重积分高等教育出版社()|(,)|dd|(,)|(),iiiiiDJuvuvJuv其中(,)(1,2,,).iiiuvin(,),(,),iiiiiixuvyuv则(,)(1,2,,).iiiDin作二重积分(,)ddDfxyxy的积分和加强条件下,§4二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换证用曲线网把,i分成n个小区域在变换T作用.iD下,区域D也相应地被分成n个小区域i记及iD()i()(1,2,,).iDin的面积为及在对y的令由引理及二重积分中值定理,有数学分析第二十一章重积分高等教育出版社1((,),(,))|(,)|().niiiiiiiifxuvyuvJuv((,),(,))|(,)|fxuvyuvJuv这个和式是可积函数12:{,,}nT||||0T的分割的细度时,12:{,,}DnTDDD||||DT相应分割的细度也趋于零.因此得到(,)dd((,),(,))|(,)|dd.DfxyxyfxuvyuvJuvuv在上的积分和.§4二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换1(,)()niiiifD又由变换T的连续性可知,当D的数学分析第二十一章重积分高等教育出版社例1求edd,xyxyDxy其中0,0,xyxy1D是由解为了简化被积函数,令,.uxyvxy所围的区域(图21-23).Ox2123图11Dy即作变换11:(),(),22Txuvyvu它的函数行列式为§4二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换数学分析第二十一章重积分高等教育出版社11122(,)0.21122Juv在T的作用下,区域D的如图21-24所示.原象所以eddxyxyDxyOvu2124图1uvuv§4二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换101ded2uvvvvu1edd2uvuv11101ee(ee)d.24vv数学分析第二十一章重积分高等教育出版社,22ymxynx,yxy例2求抛物线和直线x()(0,0).Dmn所围区域D的面积解D的面积()dd.DDxy为了化简积分区域,作变换2,.uuxyvv它把xy平面上的区域D对应到uv平面上的矩形[,][,].mn§4二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换2125图Ox2ymxyxyx2ynxyD数学分析第二十一章重积分高等教育出版社由于234212(,)0,1uuvvJuvvuvv因此2125图Ox2ymxyxyx2ynxyD§4二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换(,),uv()dDD4ddnmvuuv4dduuvv223333()().6nm数学分析第二十一章重积分高等教育出版社()[1,2]ft在D例3设上可积,是由曲线1,2,,4xyxyyxyx所围成的区域在第一象限中的部分.证明:21()dln2()d.Dfxyftt§4二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换12121212,,.ytxyuxtuytux即证令则(,)[1,2][1,4],tu有121212321212121211122(,).21122tutuJtuututu数学分析第二十一章重积分高等教育出版社因此()dDfxy§4二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换24111d()d2tftuu21()dln2()dDfxyftt1()dd2fttuu21ln2()d.ftt,,ytxyux1(,)2Jtuu数学分析第二十一章重积分高等教育出版社当积分区域是圆域或圆域的一部分,或者被积函数的形式为22()fxy时,cos,:0,02π,sin,xrTryr(8)往往能达到简化积分区域或被积函数的目的.此时,变换T的函数行列式为(,)Jr§4二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换二重积分的极坐标变换采用极坐标变换cossin.sincosrrr数学分析第二十一章重积分高等教育出版社容易知道,极坐标变换T把r平面上的矩形[0,]R但此对应不是一对一的,于r平面上两条直线段CD和EF(下图).222:.DxyR变换成xy平面上的圆域[0,2]r0r与平面上直线相对应,§4二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换(0,0)O例如xy平面上原点AAx轴上线段对应OyxBAABD(a)2126图(b)Or22RDFCE图21-26数学分析第二十一章重积分高等教育出版社定理21.14设(,)fxy满足定理21.13的条件,且在极坐标变换xyr(8)下,平面上的有界闭域D与平面上区域对应,§4二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换(,)dd(cos,sin)dd.(9)Dfxyxyfrrrr0r(,)0,Jr又当时,因此不满足定理21.13的条件.但是仍然有下面的结论.则成立数学分析第二十一章重积分高等教育出版社222,DxyR为一圆:证若BBAA为的扇形后所得的区域(图21-26(a)),设2222(,)|DxyxyR为圆环除去中心角则在变换(8)下,D对应于[,][0,2],R又因在上(,)0,Jr于是由定理21.13,有§4二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换(,)dd(cos,sin)dd.(10)Dfxyxyfrrrr因f在D上有界,故可设|(,)|,(,).fxyMxyD于是由0lim(\)0,DD可知[0,][0,2].R则(图21-26(b)).D与之间是一一对应的且数学分析第二十一章重积分高等教育出版社\(,)dd(\)0(0).DDfxyxyMDD同理又有§4二重积分的变量变换变量变换公式极坐标变换广义极坐标变换(cos,sin)ddfrrrr(,)dd(,)ddDDfxyxyfxyxy(cos,sin)dd(0).frrrr(,)dd(cos,sin)dd.Dfxyxyfrrrr(0),即得(9)式:所以,对(10)式取极限数学分析第二十一章重积分高等教育出版社若D是一般的有界闭域,则取足够大的0,R使222(,),RDDxyxy