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当前位置:首页 > 医学/心理学 > 医学试题/课件 > 17.2勾股定理的逆定理
人教版八年级(下册)第十七章勾股定理互逆命题:两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理.(1)两条直线平行,内错角相等.(2)如果两个实数相等,那么它们的平方相等.(3)全等三角形的对应角相等.说出下列命题的逆命题.这些命题的逆命题成立吗?逆命题:内错角相等,两条直线平行.逆命题:如果两个实数的平方相等,那么这两个实数相等.逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形.感悟:原命题成立时,逆命题有时成立,有时不成立试一试一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题.虽然每个命题都有逆命题,但要注意,因为一个真命题的逆命题不一定也是真命题,所以并不是所有的定理都有逆定理.成立不成立不成立勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。acbBCAacbBCA思考:1.这个定理的题设与结论是什么?2.你能写出它的逆命题吗?它的逆命题是否正确?如图:∴a2+b2=c2或BC2+AC2=AB2∵∠C=90°勾股定理的逆命题如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2勾股定理如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。且边c所对的角为直角。a2+b2=c2互逆命题勾股定理的逆命题如果三角形的较长边的平方等于其它两条较短边的平方和,那么这个三角形是直角三角形。cabBCA已知:在△ABC中,AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2求证:△ABC是直角三角形证明:画一个△A’B’C’,使∠C’=900,B’C’=a,C’A’=babA’B’C’∵∠C’=900∴A’B’2=a2+b2∵a2+b2=c2∴A’B’2=c2∴A’B’=c∵边长取正值∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)∴∠C=∠C’∴∠C=900BC=B’C’CA=C’A’AB=A’B’cabBCAabB'C'A'已知:在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,且a2+b2=c2求证:△ABC是直角三角形证明:画一个△A’B’C’,使∠C’=900,B’C’=a,C’A’=b在△ABC和△A’B’C’中∴△ABC是直角三角形勾股定理的逆命题其实不建议啥。勾股定理的逆命题如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2勾股定理如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。且边C年所对的角为直角。a2+b2=c2互逆命题逆定理定理如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。且边C年所对的角为直角。a2+b2=c2如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。且边C年所对的角为直角。a2+b2=c2如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。且边c所对的角为直角。a2+b2=c2例1判断由a、b、c组成的三角形是否为直角三角形:(1)a=15,b=8,c=17例题解析(2)a=13,b=15,c=14分析:由勾股定理的逆定理,判断三角形是不是直角三角形,只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。解:∵152+82=225+64=289172=289∴152+82=172∴这个三角形是直角三角形选择题:1.在已知下列三组长度的线段中,不能构成直角三角形的是()(A)5、12、13(B)2、3、(C)4、7、5(D)1、、523C2.下列命题中,假命题是()(A)三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形(B)三个角的度数之比为1::2的三角形是直角三角形(C)三边长度之比为1::2的三角形是直角三角形(D)三边长度之比为::2的三角形是直角三角形3322B下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形?如果是那么哪一个角是直角?(1)a=25b=20c=15_________;(2)a=13b=14c=15_________;(4)a:b:c=3:4:5__________;是是不是是∠A=900∠B=900∠C=900(3)a=1b=2c=_________;3像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数.已知△ABC中,AC=2,BC=2,AB=4,求AB上的高CD的长.622【分析】如果我们不能发现三边间的数量关系,求解就是十分困难的事.但是如果发现三边的关系,应用勾股定理的逆定理问题就迎刃而解了。26,22,42ACBCAB解:∵△ABC中222(26)(22)24832(42)∴∠C=90°2622642ACBCCDAB∵AD是AB边上的高例2.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?PEQRN远航海天PEQRN远航海天解:根据题意得:PQ=16×1.5=24PR=12×1.5=18QR=30222241830222PQPRQR∴∠RPQ=90°∵“远航”号沿东北方向航行∴∠NPQ=45°∴∠NPR=45°∴“海天”号沿西北方向航行例3如果△ABC的三边长分别为a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(mn,m,n是正整数)则△ABC是直角三角形解:=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2∴△ABC是直角三角形。=(m2-n2)2+(2mn)222amn22cmn2bmn(mn,m,n是正整数)∵a2+b2试判断:三边长分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n>0)的三角形是否直角三角形.练习【分析】先找到最大边,再验证三边是否符合勾股定理的逆定理.【解】∵2n2+2n+1>2n2+2n2n2+2n+1>2n+1∴2n2+2n+1为三角形中的最大边.又(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n4+8n3+8n2+4n+1∴(2n2+2n+1)2=(2n+1)2+(2n2+2n)2∴此三角形为直角三角形.例4:如果△ABC的三边分别为a、b、c且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c判定△ABC的形状.解:∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c2226981610250aabbcc2223450abc∴a=3,b=4,c=5222345∴△ABC为直角三角形.2226810500aabbcc例5已知:如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB=4,BC=3,AD=13,CD=12.求:四边形ABCD的面积.341213ABCD解:∵在Rt△ABC中,∠B=90°AB=4,BC=322345AC∵在△ACD中,AC=5,CD=12,AD=1322251213∴∠ACD=90°∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=3613462ABCS1512302ACDS5例6:边长为4的正方形ABCD中,F是DC的中点,且CE=BC,则AF⊥EF,试说明理由41ABDCFE∵ABCD是正方形,边长是4,F是DC的中点,EC=1/4BC∴AD=AB=4,DF=FC=2,EC=1,BE=3解:连接AE∵在Rt△ADF中∠D=90°AD=4DF=22224220AF∵在Rt△ECF中∠C=90°CE=1CF=2222125EF∵在Rt△ABE中∠B=90°BE=3AB=42223425AE∴AE2=EF2+AF2∴∠AFE=90°即AF⊥EF
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