1.4北师大版九年级数学下册课件第一章第四节解直角三角形

2014.12九年级数学(下)第一章直角三角形的边角关系第四节解直角三角形bABCa┌c2014.12事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．ABabcC解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程．在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：解直角三角形2014.123.边角之间的关系caAAsin斜边的对边cbBBsin斜边的对边cbAAcos斜边的邻边caBBcos斜边的邻边baAAAtan的邻边的对边abBBBtan的邻边的对边ABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：2.直角三角形两锐角的关系:两锐角互余∠A+∠B=900.1.直角三角形三边的关系:勾股定理a2+b2=c2.4.互余两角之间的三角函数关系:sinA=cosB.tanA﹒tanB=15.同角之间的三角函数关系:sin2A+cos2A=1..AcosAsinAtan2014.12特殊角的三角函数值表三角函数锐角α正弦sinα余弦cosα正切tanα30045060021233322221232132014.12例1：在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a=15，b=5，求这个在三角形的其他元素。在直角△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？解：在Rt△ABC中，∠C=90°，则c=a2+b2=15+5=25sinB=bc=525=12∴∠B=30°,∠A=60°由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。做一做ABabcC2014.12在直角△ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？想一想例2：在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=30，∠B=25°,求这个在三角形的其他元素。解：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=25°，∴∠A=65°∵sinB=bc,b=30∴c=bsinB=30sin25°≈71∵tanB=ba,b=30∴a=btanB=30tan25°≈64在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，这个三角形的所有元素就可以确定下来。2014.12随堂练习在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件求出直角三角形的其他几个元素（角精确到1°）（1）已知a=4，b=8（2）已知b=10，∠B=60°（1）已知c=20，∠A=60°2014.12知识技能1.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件求出直角三角形的其他几个元素（1）a=19，c=192（2）a=62，b=662.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件求出直角三角形的其他几个元素（1）c=20，∠A=45°（2）a=36，∠B=30°2014.123.如图,工件上有一V型槽,测得它的上口宽20mm,深19.2mm.求V型角(∠ACB)的大小(结果精确到10).问题解决解：由题意知，AB=20mm,CD=19.2mm∵AC=BC,CD⊥AB∴AD=10mm∵在Rt△ACD中，∠ADC=90°∴tan∠ACD=ADCD=1019.2≈0.5208∴∠ACD≈27.5°∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.5°=55°.∴V型角的大小约55°.2014.12问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问：（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？这样的问题怎么解决问题解决4ABαC解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°(1)由题可知，当∠A＝75°，对边BC的长度就攀上的最高高度。∵sinA=BCAB∴BC=AB·sinA=6×sin75°≈6×0.97≈5.8ｍ∴使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m2014.12问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问：（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？这样的问题怎么解决问题解决4ABαC解：(2)由题可知，当AC＝2.4m，AB=6m。∵cosA=ACAB=2.46=4∴由计算器可得α≈66°∴梯子与地面所在的角大约是66°由α要满足50°≤a≤75°可知，这时梯子是安全的。2014.12解决有关比萨斜塔倾斜的问题．设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5mABC解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°∵sinA=BCAB=5.254.5≈0.0954∴∠A≈5°28′2014.121.（2014•四川自贡）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.7）中考链接解：由题可知，BE=2.7米在Rt△DEB中，∠DEB=90°∴DE=BE•tan45°=2.7米，在Rt△CEB中，∠CEB=90°∴CE=BE•tan30°=0.93米，则CD=DE﹣CE=2.7﹣0.93≈1.2米．故塑像CD的高度大约为1.2米．2014.122.（2014•珠海）如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；中考链接解：（1）过点M作MD⊥AB于点D，∵∠AME=45°，∴∠AMD=∠MAD=45°，∵AM=180海里，∴MD=AM•cos45°=902（海里），答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是902海里。DAB2014.122.（2014•珠海）如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）中考链接解：（2）在Rt△DMB中，∠ADM=90°∵∠BMF=60°，∴∠DMB=30°，∵MD=902海里，∴MB=MDcos30°=606，∴渔船从B到达小岛M的航行时间为606÷20=36=3×2.45=7.35≈7.4（小时），答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时．DAB2014.123.（德阳市2013年）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为（）A.403mB.803mC.1203mD.1603m解：过A作AD⊥BC于D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120m。∴BC＝BD＋CD＝120·tan30°＋120·tan60°＝1603mD中考链接D2014.124.（2014•扬州）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）A.3313B.2511C.239D.5－2AE中考链接O2014.12