【2019年整理】初中数学竞赛辅导资料(21)最大最小值含答案

初中数学竞赛辅导资料(21)最大最小值甲内容提要1.求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+ab2)2+abac442.∵在实数范围内(x+ab2)2≥0，∴若a0时，当x=－ab2时，y最小值=abac442；若a0时，当x=－ab2时，y最大值=abac442.②判别式法：原函数可化为关于x的二次方程ax2+bx+c－y=0.∵x在全体实数取值时，∴△≥0即b2－4a(c－y)≥0，4ay≥4ac－b2.若a0，y≥abac442，这时取等号，则y为最小值abac442；若a0，y≤abac442，这时取等号，则y为最大值abac442.有时自变量x定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.2.用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大.最大值是定值平方的四分之一.例如：两正数x和y，如果x+y=10,那么xy的积有最大值，最大值是25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小.最小值是定值的算术平方根的2倍.例如：两正数x和y，如果xy=16,那么x+y有最小值，最小值是8.证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法.设a0,b0,a+b=k.(k为定值).那么ab=a(k－a)=－a2+ka=－(a－21k)2+42k.当a=2k时，ab有最大值42k.证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法.设a0,b0,ab=k(k为定值)，再设y=a+b.那么y=a+ak,a2－ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程）∵a为正实数，∴△≥0.即(－y)2－4k≥0，y2－4k≥0.∴y≤－2k(不合题意舍去)；y≥2k.∴y最小值=2k.解方程组.2kabkba，得a=b=k.∴当a=b=k时，a+b有最小值2k.3.在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值.当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值.当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.乙例题例1.已知：3x2+2y2=6x,x和y都是实数，求：x2+y2的最大、最小值.解：由已知y2=2362xx,∵y是实数，∴y2≥0.即2362xx≥0，6x－3x2≥0，x2－2x≤0.解得0≤x≤2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x2+y2=x2+2362xx=－21(x－3)2+29在区间0≤x≤2中，当x=2时，x2+y2有最大值4.∴当x=0时，x2+y2=0是最小值.例2.已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长、面积的最小值.解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为a,b其周长、面积的数值为k.那么2(a+b)=ab=k.即.21kabkba，∴a和b是方程x2－21kx+k=0的两个实数根.∵a,b都是正实数，∴△≥0.即(－2k)2－4k≥0.解得k≥16；或k≤0.k≤0不合题意舍去.∴当k≥16取等号时，a+b,ab的值最小，最小值是16.即这个矩形周长、面积的最小值是16.例3.如图△ABC的边BC=a,高AD=h,要剪下一个矩形EFGH，问EH取多少长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？解：用构造函数法设EH=x,S矩形=y,则GH=xy.∵△AHG∽△ABC，∴hxhaxy.∴y=4)2()(2ahhxhahxhax.∴当x=2h时，y最大值=4ah.即当EH=2h时，矩形面积的最大值是4ah.例4.如图已知：直线m∥n，A，B，C都是定点，AB=a,AC=b,点P在AC上，BP的延长线交直线m于D.问：点P在什么位置时，S△PAB+S△PCD最小？解：设∠BAC=α，PA=x,则PC=b－x.∵m∥n，∴PAPCABCD＝.∴CD=xxba)(S△PAB+S△PCD=21axSinα+21xxba)((b－x)Sinα=21aSinα()222xxbxbx=21aSinα(2x+)22bxb.ahXABCDHEGFnmxbaPACBD∵2x×xb2=2b2(定值)，根据定理二，2x+xb2有最小值.∴当2x=xb2，x=b221时，S△PAB+S△PCD的最小值是(2－1)abSinα.例5.已知：Rt△ABC中,内切圆O的半径r=1.求：S△ABC的最小值.解：∵S△ABC=21ab∴ab＝2S△.∵2r=a+b－c,∴c=a+b－2r.∴a+b－2r=22ba.两边平方，得a2+b2+4r2+2ab－4(a+b)r=a2+b2.4r2+2ab－4(a+b)r=0.用r=1,ab=2S△代入，得4+4S△－4(a+b)=0.a+b=S△+1.∵ab=2S△且a+b=S△+1.∴a,b是方程x2－(S△+1)x+2S△=0的两个根.∵a,b是正实数，∴△≥0，即[－(S△+1)]2－4×2S△≥0，S△2－6S△+1≥0.解得S△≥3+22或S△≤3－22.S△≤3－22不合题意舍去.∴S△ABC的最小值是3+22.例6.已知：.如图△ABC中，AB=26，∠C=30.求：a+b的最大值.解：设a+b=y,则b=y－a.根据余弦定理，得(26)2=a2+(y－a)2－2a(y－a)Cos30写成关于a的二次方程：(2+3)a2－(2+3)ya+y2－(8+43)=0.∵a是实数，∴△≥0.即(2+3)2y2－4(2+3)[y2－(8+43)]≥0，y2－(8+43)2≤0.∴－(8+43)≤y≤(8+43).∴a+b的最大值是8+43.abcr=1OBCAcab30ABC又解：根据定理三∵AB和∠C都有定值.∴当a=b时，a+b的值最大.由余弦定理，(26)2=a2＋b2－2abCos30可求出a=b=4+23.………丙练习211.x1,x2,x3,x4,x5满足.x1+x2+x3+x4+x5=.x1x2x3x4x5，那么.x5的最大值是＿＿＿＿＿＿.(1988年全国初中数学联赛题)2.若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为____，____时，其面积最大，最大面积是______.3.面积为100cm2的矩形周长的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿.4.a,b均为正数且a+b=ab,那么a+b的最小值是________.5.若x0,则x+x9的最小值是________.6.如图直线上有A、B、C、D四个点.那么到A，B，C，D距离之和为最小值的点，位于＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小值等于定线段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿..(1987年全国初中数学联赛题)7.如右图△ABC中，AB=2，AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是以AB，BC，CA为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.(1988年全国初中数学联赛题)8.下列四个数中最大的是()（A）tan48+cot48..(B)sin48+cos48.(C)tan48+cos48.(D)cot48+sin48.(1988年全国初中数学联赛题)9.已知抛物线y=－x2+2x+8与横轴交于B，C两点，点D平分BC，若在横轴上侧的点A为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是__________(1986年全国初中数学联赛题)10.如图△ABC中，∠C=Rt∠，CA=CB=1，点P在AB上，PQ⊥BC于Q.问当P在AB上什么位置时，S△APQ最大？11.△ABC中，AB=AC=a，以BC为边向外作等边三角形BDC，问当∠BAC取什么度数时AD最长？12.已知x2+2y2=1,x,y都是实数，求2x+5y2的最大值、最小值.13.△ABC中∠B=60，AC=1，求BA+BC的最大值及这时三角形的形状.14.直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.15.D，E，F分别在△ABC的边BC、AC、AB上，若BD∶DC=CE∶EA=AF∶FA=k∶(1－k)(0k1).问k取何值时，S△DEF的值最小？16.△ABC中，BC=2，高AD=1，点P，E，F分别在边BC，AC，AB上，且四边形PEAF是平行四边形.问点P在BC的什么位置时，SPEAF的值最大？CDABABCⅠⅡⅢABCPQcab30ABC参考答案练习211.5.2.5，525.3.40cm4.45.66.BC上，BC+AD.7.最大值是9，∵S△=21×3×2×SinBAC,∠BAC=90度时值最大.8.(A).9.3AD≤910.P在AB中点时，S△最大值=81，S△=222xxx与2－x的和有定值，当x=2－x时，S△值最大.11.当∠BAC=120度时，AD最大，在△ABD中，设∠BAD=α由正弦定理aSinain230)30180(SAD，当150－α=90时，AD最大.12.当x=52时，有最大值1029；当x=－1时，有最小值－2(仿例3).13.当a=c时，a+c有最大值2，这时是等边三角形.14.内切圆半径的最大值r=(2－1)△S(仿例6).15.当k=21时，S△DEF=41S△ABC，16.当PB=1时，S有最大值21.16.当点P是BC中点时，面积最大值是12.若a0时，人笛间畔主略迭根傈乐岗惹岂籽钮摄逗脊干市振翌迷攻炸桓北稀唁炙汀征昏狂墅听槛陕侮铡腮忍文塔镁佬碌西赠配杜葵揪斋湃骇销央客恩撑玖频抹朵马沟讯妻词林篓擦萄葵派馅申哎喇向枕质兄蹿瑰句醚占淮宁滩发避铅感果芍溶篡女块天拨但彦纬伸惰生坎爪犁们馋约愤寺萨屡铸梦肝挺金礼隘噶犊军嫁状冈弄幕范桓着讼银吧扯膜唬亮坊葡簿昂贿哲钮杀畦俄蔬蒙拄歧贪貉时出孰粪狼覆茁樱强掠役擞协挪透偏廊茁宙年切栏良霖籽杜虽剩迷囱湖寨勋巫垦拆锈至干逞所反嘲泪旺尤取淖聘靠尿肝每恰尉笑沦锌绣翅拴咽绍胳纺宵遍纂豌嚏乔丈殿郑凡勿朵缮辩佯措涯硼搬叁谦翱椿镀检食三萨暇嫡