北师大版选修4-4---直线的参数方程

2.1直线的参数方程请同学们回忆:学过的直线的普通方程都有哪些?两点式:112121yyxxyyxx点斜式:00()yykxxykxb1xyab一般式:0AxByC截距式：斜截式：第一节课0000030P(2.3--3(0180)0180P29--4MABMABXAMABMx：如果已知直线L倾斜角是，定点），如何描述直线L上任何一点M(x,y)的位置呢？图2中，直线L的倾斜角是，直线L与轴交于点，当时点在轴上方，直线L的正方向，直线L向上的方向为正方向，问题1直线L的正方向是如何规定的？规定在课本页图AM的方向向上。AM的：是如方为2，向何利用解，解直角决此三角形知识问题的？AP--3图2LM--4图2？BAPLM--4图2BCQ000000--4,RtPQMPQ=PMcos30,QM=PMsin30,PM=t,y=tcos30ysin30,=2+tcos30(ysin30t图2中，设因为PQ=x-2,MQ=-3,所以x-2，-3=tx为参数）=3+t利用解直角三角形知识，000：已知一条直线过点M(x,y)，问2倾斜角题，求这条直线的方程.（用向量共线解决）M0(x0,y0)M(x,y)e(cos,sin)0MMxOy解：在直线上任取一点M(x,y),则00,)()xyxy（00(,)xxyyel设是直线的单位方向向量，则(cos,sin)e00//,,,MMeMMtteR实数因为所以存在使即00(,)(cos,sin)xxyyt00cos,sinxxtyyt00cos,sinxxtyyt即，000已知一条直线过点M(x,y)，倾问2：斜角题，求这条直线的方程.M0(x0,y0)M(x,y)exOy00cos,sinxxtyyt即，00cossinxxttyyt所以，该直线的参数方程为（为参数）直线的参数方程(标准式）0,MMtelt由你能得到直线的参数方程中参数的几何问题3；意义吗？|t|=|M0M|xyOM0Me解:0MMte0MMte1ee又是单位向量，0MMtet所以,直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.这就是t的几何意义,要牢记注意向量工具的使用.此时,若t0,则的方向向上;若t0,则的点方向向下;若t=0,则M与点M0重合.MM0MM0exM(x,y)OM0(x0,y0)y|t|=|M0M|并且，直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.0L135P(1.21L2LyxP301已知直线倾斜角是，过定点），（）写出直线参数方程（）求出直线参见课本页与直线的交例点坐标。1．直线x＝－2＋tcos60°，y＝3＋tsin60°(t为参数)的倾斜角α等于()A．30°B．60°C．－45°D．135°【解析】由直线的参数方程知倾斜角α等于60°，故选B.【答案】B2．直线x＝1＋tcosαy＝－2＋tsinα(α为参数，0≤a＜π)必过点()A．(1，－2)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(2，－1)【解析】直线表示过点(1，－2)的直线．【答案】A3．已知直线l的参数方程为x＝－1－22ty＝2＋22t(t为参数)，则直线l的斜率为()A．1B．－1C.22D．－22【解析】消去参数t，得方程x＋y－1＝0，∴直线l的斜率k＝－1.【答案】B4．(2013·濮阳模拟)若直线x＝1－2ty＝2＋3t(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.【解析】将x＝1－2ty＝2＋3t化为y＝－32x＋72，∴斜率k1＝－32，显然k＝0时，直线4x＋ky＝1与上述直线不垂直．∴k≠0，从而直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－4k.依题意k1k2＝－1，即－4k×(－32)＝－1，∴k＝－6.【答案】－6直线的参数方程经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α(α≠π2)的直线l的参数方程为x＝y＝(t为参数)，其中参数t的几何意义是：|t|是直线l上任一点M(x，y)到点M0(x0，y0)的距离，即|t|＝|M0M→|.x0＋tcosαy0＋tsinα2．如何理解直线参数方程中参数的几何意义？【提示】过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα，(t为参数)，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段0MM的长度，即|t|＝|0MM|①当t＞0时，0MM的方向向上；②当t＜0时，0MM的方向向下；③当t＝0时，点M与点M0重合.直线的参数方程还可以写成这样的形式:020022211abttMatMb2当1时当时，有明确的几何意义，即，没有明确的几何意义。00(xxattyybt为参数），但是，||||tbaMM220||||212221ttbaMM直线的参数方程一般式:作业课本P38面习题2—2A组T2、T4第二节课PlQ1,1P(4.3,l2? 3054如果已知直线经过两个定点（）和），那么又如何描述直线上任何一在课本页图中，是如何利用相点M似三(x,y角形知识)的位置呢？，解决问题：此问题的？··4,3P（）(1,1Q）,)Mxy（--5图2,,x11,141+(13433x11=431+3QAAMQAMMNPMNNPyyxxyx有设这个反思：以下推导画图时，点M要画在线段QP之间比值为，即，则求得：！为参数）ABN问题4：··22P(,xy）11Qx,y（）M（x,y)--5图212121+(1+xxxyyy为参数）其中：参数几何意义是什么？1122lQx,P(,,lx yxy如果已知直线经过两个定点（）和），那么又如何描述直线上任何一点M（,y)的位置呢？0;0;QMMMPMM的数量，即为点分有向线段的比。的数量为内分点时，为外分点时，例题选讲LxP3012L，已知两点A(3,4),B(-5,3)和直线：3+5y+它与4=0（）求出过两点A,B的直线参数方程。（）求出它与直线的交点坐标。练习参见课本课本页例2P31页小结:1.直线参数方程的标准式0cos(sinttyyt0x=x是参数）|t|=|M0M|00(xxattyybt为参数）2.直线参数方程的一般式2202211abttMMabt当时，有明确的几何意义，即当时，没有明确的几何意义。||||tbaMM220||||212221ttbaMM12121+(1+xxxyyy为参数）其中：参数几何意义是什么？3.直线参数方程的另一种一般式0;0;QMMMPMM的数量，即为点分有向线段的比。的数量为内分点时，为外分点时，2:10.lxyyx已知直线与抛物线交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距例3离之积。分析1:3.点M是否在直线上1.用普通方程去解还是用参数方程去解？;2.分别如何解.ABM(-1,2)xyO直线参数方程的应用之一例题选讲（升华题)1.求（线段）弦长ABM(-1,2)xyO解题分析2:因为把点M的坐标代入直线方程后,符合直线方程,所以点M在直线上.(2sintyt3x=-1+tcos4为参数）34所以直线的参数方程可以写成又可知直线的倾角为3斜4212(222xttyt：为参数）把它代入抛物线y=x2的方程,得：2220ttt由参数的几何意义得1210ttAB12122MAMBttttABM(-1,2)xyO12122,2tttt由韦达定理：解:2s:1i0nlytxy3x=-1+tcos直线化为4即34.例4把它代入椭圆方程的方程,得所以直线与椭圆方程必相交（最好插入配图）3.求轨迹问题001.(3,4),4326.lPxyP一直线过点倾斜角为＝，求此直线与的交点与之间的距离.,)(|;|.BA,x),,(.2的坐标求交点）求弦长（两点相交与与圆，＝倾斜角为过点直线BAABylPl217604220习题精选难点题（从例题5参数方程角题：思考度来看）已知直线的参数方程为x＝1＋2t，y＝2＋t(t为参数)，则该直线被圆x2＋y2＝9截得的弦长是多少？直线参数方程的简单应用已知直线的参数方程为x＝1＋2t，y＝2＋t(t为参数)，则该直线被圆x2＋y2＝9截得的弦长是多少？【思路探究】考虑参数方程标准形式中参数t的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式x＝1＋25t′，y＝2＋15t′，再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值．1.求（线段）弦长难点题（从例题5参数方程角题：思考度来看）原直线参数方程标准化方法：222222'''''''''''2'22'22'222a2at2121222(5)at5tat=at=t5552tt11a!,btt55521a+=+=155ttabtbbbbabtat其中转化：，＝，同理：t=此时（）（）令，代，入上式得，即标准化00(xxattyybt为参数）221abt当时，没有明确的几何意义。【自主解答】将参数方程x＝1＋2t，y＝2＋t(t为参数)转化为直线参数方程的标准形式为x＝1＋25t′，y＝2＋15t′(t′为参数)代入圆方程x2＋y2＝9，得(1＋25t′)2＋(2＋15t′)2＝9，整理，有5t′2＋8t′－45＝0.'22tt5taba=2,b=1,令＝00(xxattyybt为参数）原直线参数方程标准化方法：由根与系数的关系，t′1＋t′2＝－85，t′1·t′2＝－4.根据参数t′的几何意义．|t′1－t2′|＝t′1＋t′22－4t′1t′2＝1255.故直线被圆截得的弦长为1255..例4把它代入椭圆方程的方程,得所以直线与椭圆方程必相交3.求轨迹问题作业课本P38面习题2—2A组T1、3、5以下幻灯片内容是教学参考资料由于选取的参数不同，曲线有不同的参数方程；一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式。形式不同的参数方程，它们表示的曲线可以是相同的。另外，在建立曲线的参数时，要注明参数及参数的取值范围。普通方程化为参数方程需要引入参数·M0（x0，y0）·M（x，y）xyO是参数）ttyytxx(sincos00•t表示有向线段M0P的数量。|t|=|M0M|•t只有在标准式中才有上述几何意义设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参数值分别为t1,t2.（1）|AB|＝（2）M是AB的中点，求M对应的参数值21tt221tt··AB00210tttM＋为中点若,1.求（线段）弦长3.求轨迹问题2.线段的中点问题直线参数方程的应用000问题：已知一条直线过点M(x,y)，倾斜角，求这条直线的方程.解:00tan()yyxx直线的普通方程为00sin()cosyyxx把它变成00sincosyyxx进一步整理，得：,t令该比例式的比值为即00sincosyyxxt0cos(sinttyyt0x=x整理，得到是参数）要注意:都是常数,t才是参数0x0y1．在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t1－t2|来求．本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的