12.3.1 等腰三角形(判定)(2)习题课

12.3.1等腰三角形(判定)上节课我们学习了等腰三角形的哪些性质？1、等腰三角形的两个底角相等.也就是说,在同一个三角形中,等边对等角；2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合,简称等腰三角形三线合一.等腰三角形有些什么性质？1.等腰三角形的两底角相等．（简写成“等边对等角”）ABC∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）2.等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（简写成“三线合一”）∵AB=AC，BD=CD（已知）∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC（三线合一）∵AB=AC,∠BAD=∠CAD(已知)∴BD=CD,AD⊥BC(三线合一)∵AB=AC,AD⊥BC（已知）∴BD=CD,∠BAD=∠CAD（三线合一）ABCD等腰三角形的性质文字叙述几何语言等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）∵AB=AC∴∠B=∠C等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边（简称三线合一）∵AB=AC，∠1=∠2∴AD⊥BC，BD=CDACBD12ABC判断下列语句是否正确。（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（）（2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°.（）（3）等腰三角形的底角都是锐角.（）（4）钝角三角形不可能是等腰三角形.（）××作业猜想一下，等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？（高DE=DF？）（中线DE=DF？）（角平线DE=DF？）等腰三角形的判定思考与探究如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。如果这两艘救生以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ABOSOS!SOS!猜想与归纳在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？CBA即：∆ABC中,若∠B=∠C,则AB与AC有什么关系?如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）∆ABC中，∵∠B=∠C∴AB=ACCBA几何语言表示如下：等腰三角形的判定方法ABOSOS!SOS!总结：现在你有哪些方法可以判定等腰三角形?(1)有两边相等的三角形是等腰三角形;(2)如果一个三角形中有两个角相等,那么它是等腰三角形.例题分析例1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。已知：∠CAE是∆ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC，（如图），求证：AB=AC。EDCBA21证明：∵AD//BC∴∠1=∠B∴∠2=∠C又已知∠1=∠2∴∠B=∠CAB=AC（_______________________)（_____________________________)（____________________)两直线平行,内错角相等等角对等边两直线平行,同位角相等例题分析例3、如图，标杆AB高5m，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得点D、B、E在一条直线上，量得DE=4m，绳子CD和CE要多长？ACBED分析：1、CD与CE相等吗？为什么？2、若用作图的方式来解决，取比例尺为多少较好？为什么？3、若要作图，问题即是：已知三角形的CDE是等腰三角形，且底边上的高CB=2.5m，底边DE长为4m，能否作出这个三角形？动手操作看看吧！你能行！也请看看我的作法！CD与CE相等,因为AB是线段DE的垂直平分线。取1：100较好，此时1cm代表了1m，换算方便。1、如图,已知∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,图中有多少个等腰三角形。ABCD12△ABC△ABD△BCD挑战自我2、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ABCEDC答：重合部分是一个等腰三角形。∵由折叠可知∠CED=∠AEB，∠C=∠A，CD=AB，∴∆EAB≌∆ECD（AAS）∴EB=ED3、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD。OCDBA证明：∵OA=OB∴∠OAB=∠0BA又∵AB∥DC∴∠OCD=∠OAB∠0DC=∠0BA(平行线的性质)∴∠OCD=∠ODC∴OC=OD4、如图，ＢＤ是等腰三角形ＡＢＣ的底边ＡＣ上的高，ＤＥ∥ＢＣ，交ＡＢ于点Ｅ．判断△ＢＤＥ是不是等腰三角形，并说明理由．AEDCB5、如图，∆ABC中，BC=BA，∠A=600,BD是AC边的中线，延长BC到E，使CE=CD，求证：DE=DBEDCAB提示：∵BA=BC∴∠BCA=∠A=600(等边对等角)∵CE=CD∴∠E=∠CDE=300(三角形外角性质)∵BD是AC边的中线∴∠DBC=300∴DE=DB（等角对等边）若DB是AC边上的高，上述结论还成立吗？若DB是AC边上的高，上述结论仍成立6、如图，∆ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE//BC，分别交AB、AC于点D、E，求证：BD+EC=DE提示：∵DE//BC∴∠OBC=∠DOB，∠OCB=∠EOC∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB∴∠DBO=∠DOB=∠OBC,∠ECO=∠EOC=∠OCB∴BD=DO，CE=OE∴BD+EC=DO+OE=DEOEDCBA（等角对等边）生活应用上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=420，∠NBC=840，求从海岛B到灯塔C的距离。ABCN解：∵∠NBC=∠A+∠C（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和）∴∠C=840－420=420∴BA=BC（等角对等边）∵AB=15（10－8）=30∴BC＝BA＝30（海里）已知：如图，C、D在AB上，且PA=PB,PC=PD，求证：AC=BDABPCDE证明：过点P作PE⊥AB于E，∵PA=PB,PC=PD，∴AE=BE，CE=DE(等腰三角形底边上的高、中线互相重合)∴AE-CE=BE-DE即AC=BD名称图形概念性质与边角关系判定等腰三角形ABC有两边相等的三角形是等腰三角形2.等边对等角3.三线合一4.是轴对称图形2.等角对等边1.两边相等1.两腰相等小结著名的数学家，莫斯科大学教授雅洁卡提出：“解题就是把要解的题转化为已经解过的题”。许多题目我们都解过，怎样转化呢？加油吧！