单摆复摆

第四节单摆和复摆一、单摆11..单单摆摆、、摆摆锤锤和和摆摆线线单单摆摆角角谐谐振振动动::00522..动动力力学学方方程程质质量量为为mm的的小小球球用用细细线线悬悬挂挂，，当当球球在在小小角角度度摆摆动动时时，，则则有有：：系系统统所所受受力力矩矩：：θmglMsin由由转转动动定定律律：：JM可可得得角角加加速速度度::sinsin222lgmlmglJMdtd定定义义角角频频率率::lg，，并并注注意意到到：：sin，，可可得得：：0222dtd（（11））这这就就是是单单摆摆角角谐谐振振动动所所满满足足的的动动力力学学方方程程。。33..运运动动学学方方程程、、周周期期方方程程（（11））的的解解为为：：tmcos，，最最大大摆摆角角m和和初初相相由由初初始始条条件件决决定定。。而而且且有有：：2020lvm，，00lvarctg振振动动周周期期：：glT2244..应应用用：：测测量量重重力力加加速速度度，，探探矿矿等等。。二、复摆任任意意形形状状的的刚刚体体悬悬挂挂后后绕绕一一固固定定轴轴OO作作小小角角度度摆摆动动，，质质心心到到转转轴轴距距离离为为ll，，则则有有：：JmglJmglJMdtdsin22为为谐谐振振动动方方程程，，相相应应的的角角频频率率::Jmgl，，周周期期：：mglJT22应应用用：：测测量量转转动动惯惯量量。。第五节简谐运动的能量一、能量表达式以以在在水水平平面面上上作作简简谐谐振振动动的的弹弹簧簧振振子子为为例例，，分分析析其其能能量量变变化化，，显显然然振振子子只只受受弹弹性性力力这这一一保保守守力力作作用用，，符符合合能能量量守守恒恒。。设设在在任任一一时时刻刻tt，，振振子子位位移移为为xx，，速速度度为为vv，，注注意意到到：：xx==AAccooss((ωωtt++φφ))，，vv==--ωωAAssiinn((ωωtt++φφ))，，则则其其弹弹性性势势能能EEpp动动能能EEKK分分别别为为：：动动能能::EEkk==mmvv22//22==mmωω22AA22ssiinn22((ωωtt++φφ))//22弹弹性性势势能能::EEpp==kkxx22//22==kkAA22ccooss22((ωωtt++φφ))//22==mmωω22AA22ccooss22((ωωtt++φφ))//22因因此此系系统统总总机机械械能能为为：：EE==EEkk++EEpp==mmωω22AA22//22==kkAA22//22可可见见系系统统机机械械能能守守恒恒。。二、能量曲线注注意意理理解解能能量量守守恒恒和和动动能能、、势势能能相相互互转转化化过过程程。。由由能能量量守守恒恒关关系系可可得得：：kkAA22//22==mmvv0022//22++kkxx0022//22，，解解之之即即得得：：2020vxA三、动力学方程的另一种推导方法我我们们还还可可以以从从能能量量守守恒恒基基本本关关系系式式出出发发推推出出简简谐谐振振子子的的动动力力学学方方程程。。四、现代物理的研究方法第六节简谐运动合成研研究究振振动动合合成成问问题题的的普普遍遍性性的的意意义义：：声声学学、、音音乐乐、、乐乐器器、、电电信信号号的的传传输输、、调调制制和和解解调调等等。。一、两个同方向同频率的简谐振动合成11..结结论论分分振振动动：：111costAx222costAx合合振振动动为为：：tAxcos其其中中：：22..推推导导（（11））解解析析法法221121coscostAtAxxxtAtAtAtAsinsincoscossinsincoscos22221111tAAtAAsinsinsincoscoscos22112211tAtAsinsincoscostAcos其其中中，，2211coscoscosAAA2211sinsinsinAAA解解之之可可得得：：12212221cos2AAAAA22112211coscossinsinAAAAtg（（22））图图解解法法33..讨讨论论（（11））同同相相：：两两分分振振动动同同相相：：，，，，合合振振动动振振幅幅等等于于两两分分振振动动振振幅幅之之和和。。（（22））反反相相：：两两分分振振动动反反向向：：，，，，，，合合振振动动振振幅幅等等于于两两分分振振动动振振幅幅之之差差。。二、多个同方向同频率的简谐振动合成在在光光学学中中讲讲解解。。三、同方向不同频率的简谐振动合成拍11..不不同同振振幅幅设设有有两两个个同同方方向向的的简简谐谐振振动动，，但但它它们们的的频频率率、、振振幅幅不不同同：：它它们们的的合合振振动动是是：：右右图图演演示示了了上上式式的的合合成成振振动动。。红红线线、、蓝蓝线线表表示示分分振振动动，，黑黑线线表表示示合合成成的的振振动动。。可可以以看看出出合合振振动动的的振振幅幅和和频频率率的的变变化化比比较较复复杂杂。。22..分分振振动动的的振振幅幅和和初初相相位位都都相相等等为为简简单单计计，，设设两两分分振振动动的的振振幅幅和和初初相相位位都都相相等等，，当当两两分分振振动动的的频频率率都都很很大大，，且且相相差差甚甚微微时时，，合合振振动动为为可可将将视视为为振振幅幅变变化化部部分分，，合合成成振振动动是是以以角角频频率率为为的的谐谐振振动动。。其其振振幅幅变变化化的的周周期期是是由由振振幅幅绝绝对对值值变变化化来来决决定定，，即即振振动动忽忽强强忽忽弱弱，，所所以以它它是是近近似似的的谐谐振振动动这这种种合合振振动动忽忽强强忽忽弱弱的的现现象象称称为为拍拍。。拍拍的的频频率率为为两两个个分分振振动动的的频频率率之之差差。。四、两个相互垂直的同频率的简谐振动合成设设一一个个质质点点同同时时参参与与了了两两个个振振动动方方向向相相互互垂垂直直的的同同频频率率简简谐谐振振动动，，即即因因得得上上式式是是个个椭椭圆圆方方程程，，具具体体形形状状由由相相位位差差决决定定。。质质点点的的运运动动方方向向与与有有关关。。当当时时，，质质点点沿沿顺顺时时针针方方向向运运动动；；当当时时，，质质点点沿沿逆逆时时针针方方向向运运动动。。（（课课本本2244页页图图））五、两个相互垂直的不同频率的简谐振动合成李李萨萨如如图图设设一一个个质质点点同同时时参参与与了了两两个个振振动动方方向向相相互互垂垂直直频频率率不不同同的的简简谐谐振振动动，，即即合合成成的的振振动动一一般般是是复复杂杂的的，，运运动动轨轨道道不不是是封封闭闭曲曲线线，，即即合合成成运运动动不不是是周周期期性性的的运运动动。。如如果果两两个个互互相相垂垂直直的的振振动动频频率率成成整整数数比比，，合合成成运运动动的的轨轨道道是是封封闭闭曲曲线线，，运运动动也也具具有有周周期期。。这这种种运运动动轨轨迹迹的的图图形形称称为为李李萨萨如如图图形形。。用用李李萨萨如如图图形形在在无无线线电电技技术术中中可可以以测测量量频频率率。。在在示示波波器器上上，，垂垂直直方方向向与与水水平平方方向向同同时时输输入入两两个个振振动动，，已已知知其其中中一一个个频频率率，，则则可可根根据据所所成成图图形形与与已已知知标标准准的的李李萨萨如如图图形形去去比比较较，，就就可可得得知知另另一一个个未未知知的的频频率率。。