《图解刚体力学——欧拉运动学方程》

本科生毕业论文论文题目：图解刚体力学——欧拉运动学方程学生姓名：罗加宽学号：2008021152专业名称：物理学论文提交日期：2012年05月17日申请学位级别：理学学士论文评审等级：指导教师姓名：陈洛恩职称：教授工作单位：玉溪师范学院学位授予单位：玉溪师范学院玉溪师范学院理学院物理系2012年05月1图解刚体力学—欧拉运动学方程罗加宽（玉溪师范学院理学院物理系08级物理1班云南玉溪653100）指导教师：陈洛恩、杨春艳摘要：本文阐述了描述刚体定点转动的欧拉角及欧拉运动学方程的图解，以期让复杂的问题转化得简单清晰而易于学习者的理解，抽象的概念变得直观具体而易于学习者的掌握；并能在一定程度上对提高学习者的空间思维能力、引导和培养学习者的创新思维能力有一定的帮助。关键字：图解；刚体；欧拉角；欧拉运动学方程1.引言理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学；依照牛顿的说法，理论力学“是关于力产生的运动和产生任何运动的力的理论，是精确的论述和证明”[1]。理论力学作为使用数学方法的自然知识的一部分，不仅研究实际物体，而且研究其模型—质点、质点系、刚体和连续介质。从研究次序来看，通常先研究描述机械运动现象的运动学，然后再进一步研究机械运动应当遵循哪些规律的动力学。至于研究平衡问题的静力学，对理科来讲可以作为动力学的一部分来处理，但在工程技术上，静力学却是十分的重要，因此，常把它和动力学分开，自成一个系统[2]。本文图解的内容为刚体力学运动学问题之一的刚体的绕定点的转动。“图解”的方法,较早见于上海科学技术出版社1988年翻译出版的《图解量子力学》，原书名为ThePictureBookofQuantumMechanics，由Springer-Verlag出版；类似的书还有Springer-Verlag出版的VisualQuantumMechanics。其特点是通过将理论物理与数值计算相结合实现可视化来讲解物理知识。国外对物理的可视化教学十分重视，早在1995-1996年间Wiley出版社出版了9本有关物理多媒体教学的丛书,是由大学高等物理软件联盟(TheConsortiumforUpper-LevelPhysicsSoftware，CUPS)编写该丛书及其所用的教学软件[3]。如今，图解法已经广泛应用于力学、电磁学、模拟电子技术等方面，理论力学方面同样也有不少人已经采用了图解法。如赵宗杰使用3dsmax建立质点外弹道运动规律的虚拟模型和场景[4]；乐山师范学院王峰等利用Matlab分别对质点受力仅为位置、速度或时间的函数进行了图解，并说明了Matlab在理论力学中的应用[5]；阜阳师范学院孙美娟、韩修林利用Mathematica进行编程作出了落体的位移—时间图像[6]。通过图解，使很多抽象繁难的物理问题在解析时达到空间立体直观，概念形成清晰，逻辑链路晓畅明朗，数式转换准确易见。理论力学因理论性较强，与高等数学联系密切，一些概念的形成、公式的推导、逻辑推理等较抽象、繁难、复杂，往往使教授者感到教学很难达到预期的效果，学2图1定点转动的刚体习者在学习过程中感觉不但学起来困难吃力，而且学习的效率很低，以致容易产生怕学、厌学的心理。基于上述分析，本文试图通过以图解的形式讲解描述刚体运动的三个欧拉角的获得及用其描述的刚体定点转动运动学方程的建立过程，来呈现欧拉运动学方程的图解形式。本文第二部分为对刚体的定点转动的表述；第三部分为以图解的形式呈现欧拉角；第四部分为欧拉运动学方程；第五部分为图解过程的缩影。2.刚体的定点转动表述刚体可以视为质点组，但却有着区别于一般质点组的特殊性：其内的所有质点的相对位置不论在何种情况下都保持不动，即任意两个质点之间的距离始终保持不变。通常在三维空间中，若一个质点组包含有N个质点，那么就需要3N个坐标变量才能确定整个质点组的位形。然而，因刚体具有上述特殊性，所以无论构成刚体质点组的质点数为多少，可以独立变化的坐标变量只有6个，即与其内包含有的质点数的多少无关。换句话说，也就是若我们把描述物体运动时独立变化的坐标变量的数目称为自由度，那么一般情况（没有任何约束）下刚体运动的自由度为6。若受到某些约束，自由度就将更少。当刚体运动时，若刚体内只有一点始终固定不动，整个刚体围绕该点转动，则称为刚体的定点转动。譬如，陀螺（图1-a），安装在万向支架上的陀螺仪转子（图1-b），和锥形行星齿轮（图1-c）等。由于一点始终固定不动（即我们说刚体受到约束），所以6个可独立变化的坐标中有3个是给定不变了，因而此时刚体可以独立变化的坐标变量只剩下3个，亦即刚体定点转动的自由度为3。3图1—b中，陀螺仪中转子可以绕自身对称轴zO转动，zO轴又可随同内环一起绕ON轴转动，而ON轴又可随同外环一起绕固定轴Oz转动。这样三个彼此独立的绕相交轴的转动使转子可以绕O点转动到任何空间位置，而三轴交点O始终固定不动。图1-a和图1-c中的陀螺、锥形行星齿轮的运动都可以做同样的理解。由此可知，定点转动的刚体在某瞬时的运动，可视为是绕通过定点的某一转动轴的转动[7]；但与定轴转动不同，这一转动轴是瞬时转动轴，简称瞬轴，它在空间的取向是随着时间的改变而改变的[8]。3.欧拉角由以上可知，为了确定定点转动刚体在某一时刻的位置，可选定点作为坐标原点，用两个独立变化的坐标变量来确定转动轴在空间的取向，再用另一个独立变化的坐标变量来确定整个刚体绕该轴线所转过的角度。通常这三个独立变化的坐标变量取为欧拉角较为方便，下面将阐明如何来定义选取三个独立变化的欧拉角。取两套右手正交坐标系，其坐标原点均选在固定点O，一组是定坐标系O，固定在空间不动；而另一组是动坐标系xyzO，固连于刚体本身,随着刚体一起转动(图2）。则刚体的空间位置可以由动坐标系相对于定坐标系的位置来确定[9]，如图3所示。设某瞬时，刚体处于图3所示的位置。动坐标平面Oxy与定坐标平面O的交线，用ON表示，称为节线。节线ON与定轴O的夹角称为进动角，动轴Oz与定轴O的夹角称为章动角，节线ON与动轴Ox的夹角称为自转角，这三个角合称为欧拉角（欧勒角）。规定从轴、N、z正端看来，由轴、、N按逆钟向量得的角度为正，反之为负[10]。从图2中可以看出：节线ON既在平面O上也在平面Oxy上，所以它既垂直于轴也垂直于轴z，是两轴所构成的平面zO的法线。因此，节线ON与定轴O的夹角这一进动角可以用来确定平面zO的位置。当进动角和动轴Oz与定轴O的夹图2.坐标系4图3.欧拉角图4.初始位置图5.进动角图6.章动角角这一章动角共同确定之后，轴z连同平面Oxy的位置便确定。而动轴Ox和Oy在平面Oxy的位置则可用节线ON与动轴Ox的夹角这一自转角来确定。这样，通过欧拉角（、、）就能唯一确定动坐标系xyzO相对于定坐标系O的位置，又因为动坐标系xyzO和刚体固连，所以也就确定了刚体的位置。进动角、章动角和自转角是彼此独立的，当刚体运动时，、、一般都随着时间t改变而改变，是时间t的单值连续函数，可写为)(1tf，)(2tf，)(3tf（1-1）这一组方程就是刚体定点运动的运动学方程[11]。假定在初瞬时动坐标系xyzO与定坐标系O重合（图4），则可通过如下三次转动而达到图3的任意位置。3．1进动角令动坐标系xyzO（刚体与之一起）绕着轴沿逆时针方向（下同）转过一个5图8.角速度方向的确定图9.角速度的分解（一）角度。于是x轴同轴分开，到达另一个位置（即ON位置）；y轴同轴分开，到达另一个位置；但因是绕与z轴重合的轴转动，所以z轴同轴仍旧重合在一起，如图5所示。3．2章动角在上面进动角的基础上，令动坐标系xyzO绕着Ox（即ON)转过一个角度。于是z轴同轴分开，到达另一个位置；y轴再转动到另一个位置，如图6所示。这时z轴与轴的夹角是，动坐标系xyzO与定坐标系O的夹角亦是。3．3自转角在图6的基础上，再令动坐标系xyzO绕着自身z轴转过一个角度。于是Ox同ON（原来位置）分开，Oy再转动到另一位置。这时，刚体便转动到我们所需要的位置，如图3中的位置。若要得到刚体可能具有的其他各种位形，只需要在下列区间内改变、、的数值：π20，π0，π20欧拉角的这种取法并不是唯一的，在陀螺仪实用理论中，可根据具体结构和装置情况，选取不同的欧拉角度系统，这里的取法是古典的或称古典欧拉角[11]。4.欧拉运动学方程因为角速度是一个矢量，所以它符合一般的矢量的运算法则，如合成和分解等。现在来求刚体作定点转动的角速度。为便于更好地理解接下来所要作的分析推理，首先在图3中依次标出刚体在进动角度后动轴x和y所到达的位置为xO（亦即ON的位置）和yO，在章动角度后动轴y所到达的位置为yO，如图8所示；并分别设定沿动坐标系x、y、z轴的单位矢量为i、j、k，沿定坐标系、、6轴的单位矢量为1e、2e、3e；而沿轴ON、yO和yO的单位矢量则分别为1i、1j和2j。图中刚体的角速度分解为各个欧拉角速度的矢量和表为kie13（1-2）若把向动坐标系xyzO各轴分解，则可表为kjizyxzyx（1-3）而由几何关系可知：①可沿x、y、z三个轴分解，但在这里，由于O与Ox和Oy之间的夹角不容易确定，所以我们先将其分解到z轴和yO轴上（因为Oz、O、yO同在一平面，且Oz与yO垂直），如图9。则有23sincosjke然后再把yO轴上的分量分解到Ox和Oy上，即jijcossinsinsinsin2最终得：kjiecoscossinsinsin3②由于ON与Oz垂直，因此只能沿x轴和y轴分解，而在z轴上没有分量，即jiisincos1③而沿着z轴，故在x轴和y轴上没有分量。集合、、在x、y、z轴上的各个分量，并联立式（1-3），得kjikjikjizyxsincoscoscossinsinsinkji)cos()sincossin()cossinsin(由此我们便得到用欧拉角及其对时间的微商来表示角速度沿动坐标系的x、y、z各轴的投影的欧拉运动学方程：或以矩阵式表示为：刚体的角速度同样也可以向定坐标系O的、、各轴进行分解：321eeecossincossincossinsinzyx(1-4)10cos0sincossin0cossinsinzyx(1-5)7沿着轴，故在轴和上没有分量。由于ON与Oz垂直，因此只能沿轴和轴分解，即211sincoseei而则可沿、、各轴分解，但是Oz与O和O之间的夹角不容易确定，所以我们先将其分解到轴和yO轴上（因为yO、yO、O、Oz、在同一平面内，且yO与O垂直），如图10。便有13sincosjek然后把在yO轴上的分量沿轴和轴分解，即211cossinsinsinsineej最后便得到在各个轴的矢量和：321coscossinsinsineeek至此便得到用欧拉角及其对时间的微商