导数—构造函数

导数—构造函数一：常规的构造函数例一.若33sincoscossin,02，则角的取值范围是(C)(A)[0,]4(B)[,]4(C)5[,]44(D)3[,)42变式、已知3355xyxy成立，则下列正确的是（B）A.0xyB.0xyC.0xyD.0xy变式.已知()fx为定义在(,)上的可导函数，且()'()fxfx对于xR恒成立且e为自然对数的底，则（）A．2012(1)(0),(2012)(0)feffefB．2012(1)(0),(2012)(0)feffefC．2012(1)(0),(2012)(0)feffefD．2012(1)(0),(2012)(0)feffef答案：A变式.()fx为()fx的导函数，若对xR，22()()fxxfxx恒成立，则下列命题可能错误的是(D)A．(0)0fB．(1)4(2)ffC．(1)4(2)ffD．4(2)(1)ff二：构造一次函数例二、对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1a+2x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10在|a|2时恒成立,设f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：)2(0)2(ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或∴x-1或x3.即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞)此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.三：变形构造函数例三．已知函数21()(1)ln2fxxaxax，1a．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）证明：若5a，则对任意12,(0,)xx，12xx，有1212()()1fxfxxx．解：（Ⅰ）()fx的定义域为(0,)．211(1)(1)()axaxaxxafxxaxxx…………………2分（i）若11a即2a，则2(1)()xfxx，故()fx在(0,)单调增加．（ii）若11a，而1a，故12a，则当(1,1)xa时，'()0fx；当(0,1)xa及(1,)x时，'()0fx．故()fx在(1,1)a单调减少，在(0,1),(1,)a单调增加．（iii）若11a，即2a，同理可得()fx在(1,1)a单调减少，在(0,1),(1,)a单调增加．（II）考虑函数()()gxfxx21(1)ln2xaxaxx．则211()(1)2(1)1(11)aagxxaxaaxx．由于15,a故()0gx，即()gx在(0,)单调增加，从而当120xx时有12()()0gxgx，即1212()()0fxfxxx，故1212()()1fxfxxx，当120xx时，有12211221()()()()1fxfxfxfxxxxx例四、已知函数2()(1)ln1fxaxax.（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）设2a，证明：对任意12,(0,)xx，1212|()()|4||fxfxxx.四：消参构造函数例五、设函数21fxxalnx有两个极值点12xx，，且12xx．（I）求a的取值范围，并讨论fx的单调性；（II）证明：21224lnfx．【解】（I）由题设知，函数fx的定义域是1,x222,1xxafxx且0fx有两个不同的根12xx、，故2220xxa的判别式480a，即1,2a且12112112,.22aaxx…………………………………①又11,x故0a．因此a的取值范围是1(0,)2．当x变化时，()fx与()fx的变化情况如下表：因此()fx在区间1(1,)x和2(,)x是增函数，在区间12(,)xx是减函数．（II）由题设和①知22210,2(1),2xaxx于是2222222(1)1fxxxxlnx．设函数22(1)1,gttttlnt则2(12)1gtttlnt当12t时，()0gt；当1(,0)2t时，0,gt故gt在区间1[,0)2是增函数．于是，当1(,0)2t时，1122().24lngtg因此22122()4lnfxgx．五：消元构造函数例六、已知函数xxfln，xexg．（Ⅰ）若函数11xxxfx，求函数x的单调区间；（Ⅱ）设直线l为函数的图象上一点00,xfxA处的切线．证明：在区间,1上存在唯一的0x，使得直线l与曲线xgy相切．（Ⅱ）∵1()fxx，∴001()fxx，∴切线l的方程为0001ln()yxxxx,http:///即001ln1yxxx,①·····························································6分设直线l与曲线()ygx相切于点11(,)xxe，∵()xgxe，∴101xex，∴10lnxx．··············································8分∴直线l也为00011lnyxxxx，即0000ln11xyxxxx，②································································9分由①②得0000ln1ln1xxxx，∴0001ln1xxx．··············································································11分下证：在区间（1，+）上0x存在且唯一.由（Ⅰ）可知，()x1ln1xxx在区间1,+（）上递增．又12()ln011eeeee，22222213()ln011eeeeee，·············13分结合零点存在性定理，说明方程()0x必在区间2(,)ee上有唯一的根，这个根就是所求的唯一0x．故结论成立．六：二元合一构造函数例七、已知函数21()ln(0)2fxxaxbxa且导数'(1)0f（1）试用含有a的式子表示b，并求()fx的单调区间；（2）对于函数图象上的不同两点1122(,),(,)AxyBxy如果在函数图象上存在点00(,)Mxy（其中012(,)xxx）使得点M处的切线//lAB，则称AB存在“跟随切线”。特别地，当1202xxx时，又称AB存在“中值跟随切线”。试问：在函数()fx上是否存在两点AB、使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出AB、的坐标，若不存在，说明理由。解（1）()fx的定义域为(0,)1'(),'(1)10fxaxbfabx1ba代入11(1)(1)'()1axxfxaxbaxaxxx又0,0ax()fx在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减；[来源:学科网]（2）假设存在1122(,),(,)AxyBxy，不妨设120xx，则222121212121211(lnln)()(1)()2ABxxaxxaxxyykxxxx212121lnln1()(1)2xxaxxaxx（1）函数图象在1202xxx处的切线斜率为12120122'()'()(1)22xxxxkfxfaaxx（2）由（1）（2）得：2112212112lnln12()(1)(1)22xxxxaxxaaaxxxx化简得：212112lnln2xxxxxx所以22211211212(1)2()ln1xxxxxxxxxx七：构造函数解不等式例八、设函数f(x)＝mxmmxx12223(其中m-2)的图像在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行；（Ⅰ）求m的值与该切线方程；（Ⅱ）若对任意的Mxfxfxx2121,1,0,恒成立，则求M的最小值；（Ⅲ）若a0,b0,c0且a+b+c=1，试证明：109111222ccbbaa解：（Ⅰ）m=1，……………2分y=5x+10(过程略)；………………4分（Ⅱ）Mmin=274(过程略)；……………………8分（Ⅲ）xxxxxxf2122223时取等号）（当且仅当（可证明）又时当时取等号当，时，由上知，当311093125027111,31,250272502711110,10,10,1;0,0,0)31(25027125027112750211,02222222222222222222cbaccbbaacbacbacbacbaccbbaacbacbacbaxxxxxxxxxx…14分例九、设函数()ln1fxxpx（Ⅰ）求函数()ln1fxxpx的极值点（Ⅱ）当0p时，若对任意的0x，恒有()0fx，求p的取值范围。（Ⅲ）证明：222222222ln2ln3ln4ln21(,2)2342(1)nnnnNnnn解：（1）解：∵()ln1fxxpx，∴()fx的定义域为(0,)/11()pxfxpxx，当0p时，/()0fx，()0+fx在（，）上无极值点。当0p时，令//1()0,(0,),()fxxfxp、()fx随x的变化情况如下表：从上表可以看出：当0p时，1()fxxp有唯一的极大值点------------------4分=222111111(1)()(1)()232334(1)nnnnn----------13分x1(0,)p1p1(,)p/()fx+0-()fx[来源:学。科。网Z。X。X。K]递增极大值递减[来源:学科网]=11111111(1)()(1)()2334121nnnnn2212(1)nnn结论成立-------------------------------------------------------15分例十、证明：对任意的正整数n，不等式3211)11ln(nnn都成立.解令函数)1ln()(23xxxxh则32213(1)()3211xxhxxxxx．当0x，时，()0hx，所以函数()hx在0，上单调递增，又(0)0h·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋(0)x，时，恒有()(0)0hxh，即32ln(1)xxx恒成立·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞