2015-01-02--解答-12高等代数1期末试卷

1装订线2012学年第一学期高等代数Ⅰ(A卷)一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设,AB为n阶方阵，下列运算正确的是（D）(A)121212ABAB(B)AA(C）22ABABAB(D)若A可逆，则1111212AA分析：121212,ABABABABABAAABAB，矩阵乘法不满足交换律，故两者不一定相等；同理，2222-ABABAABBABABn-AAA（1）；2、设A是56矩阵，其秩为5，则齐次线性方程组0AX（C）(A)基础解系恰有5个解向量(B)基础解系恰有6个解向量(C)基础解系恰有1个解向量(D)只有零解分析：基础解系所含向量个数：n(未知数个数)-r（A的秩）0=6-5=13、若矩阵nmA的秩为r，则下列结论正确的是（D）(A)A的任何级数不超过r的子式都不等于零(B)A的任何级数不超过r的子式都等于零(C)A的任何级数大于r的子式都不等于零(D)A的任何级数大于r的子式都等于零分析：细读课本134页定理6.4、设12,,,r是n维列向量，则12,,,r线性无关的充要条件是（D）(A)向量组12,,,r中任意两个向量线性无关(B)存在一组不全为0的数12,,,rccc，使得11220rrccc(C)向量组12,,,r中存在一个向量不能由其余向量线性表示(D)向量组12,,,r中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5、设,AB都是n阶正定矩阵，则下列结论正确的是（C）2(A)AB是正定矩阵(B)AB是正定矩阵(C)AB是可逆矩阵(D)AB是实对称矩阵分析：AB，正定000ABABABAB，可逆二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设()fx和()gx是两个多项式,若,1fxgx，则,()fxgxfx1；证明由于((),())1fxgx，所以存在多项式(),()uxvx使得()()()())1uxfxvxgx于是()()()()-()()()()1uxfxvxgxvxfxvxfx[()()]()()[()()]1uxvxfxvxfxgx故((),()())1fxfxgx.2、六阶行列式中，561234234165aaaaaa这一项该带正号；分析：该项符号为+14-=-=1（5,1,3,2，4,6）（6,2,4,3，1,5）（1）（1）3、设A为三阶方阵，*A为A的伴随矩阵，且有2A，则11(3)*2AA427；分析：**2-1*AAA==A=A=4A2，，故1*13*11111(3)*-*=-*=-*=-A2326233AAAAAAA（）=4274、设1231,1,2,1,0,0,1,4,k的一个极大线性无关组是13,，则8k；分析：依题意123,,线性相关，从而1121000814k5、若二次型2221231231223,,22fxxxxxxxxtxx是正定的，则3装订线t满足条件：22t。三、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“”）1．,AB均为n阶复对称矩阵，则,AB合同的充要条件是()()AB秩秩；（√）2、含有n个未知数的非齐次线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩等于n；（）分析：Axb有解r(A)=r(A)3、,AB均为矩阵，若0AB，则0A或者0B；（）分析：矩阵乘法不满足交换律，消去律，即=BA=0B==ABABABACBC不一定成立；不一定得到A=0或0；不一定有4、如果向量组12,,,r线性相关，则每个i都可以表示为其余向量的线性组合；（）分析：向量组12,,,r线性相关，则至少有一个i都可以表示为其余向量的线性组合；5、若多项式()fx和()gx的最大公因式唯一，则()()0fxgx。（√）四、简答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分）1、设100*021011A，又0A，求矩阵A以及它的逆矩阵1A。解：因为*AAAE，所以有*1()AAA，1*1AAA（2分）而31*,01AAAA且，，（4分）*1100()011012A又，（6分）所以*1100()011012AA，4注意：*1()A的求法（1）利用为分块对角矩阵（2）*EA作初等行变换（3）**1**=AAA（），此法繁琐，不推荐设A为n阶矩阵，涉及*A的题目充分利用以下公式：n-11**1=AAAAA，2、求n阶行列式1112112112112111nnnn的值。解：行列式特点：每一行的和相等为“1”,每一列的和相等为“1”1112112112112111nnnn111111121(2,3,,)12112111inrrinnn111110010,2,3,,01001000inrrinnn（4分）(1)1211nnnn（8分）3、讨论取何值时，线性方程组2123123123(1)0(1)(1)xxxxxxxxx(1)有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解，并求出此方程组的通解。解：方程组的系数行列式为2111111(3)111（1分）（1）当3且0时，()()3RARAn，方程组有唯一解;（2分）1000210115装订线（2）3时，1321312211011291213121311292110rrrrrrA3211291129033603360331800012rr，阶梯型()3()2RARA，此时，方程组无解;（4分）（3）0时，111011101110A2131rrrr111000000000，最简型()()13RARAn，此时方程组有无穷多解，（6分）由最简型的一般解为1232233xxxxxxx（23,xx为自由未知量），所以所求通解为12121231110,,01xxkkkkx为任意常数。（8分）4、设有二次型222123123121323,,2224fxxxxxxxxxxxx（1）写出二次型f的矩阵A；（2）把二次型123,,fxxx经过非退化线性替换化为标准形，并写出所用的非退化线性替换。解：(1)二次型的矩阵为111122121A（2分）62121323131(2)111111100100122011011011A121010010001=E100100111111010010010010001001001001rrccrrrrcc32100010001110011001cc（6分）令110011,001C则非退化线性变换XCY（7分）把二次型化为标准形222123123,,fxxxyyy。（8分）说明：A作行变换而E不变，接着”A和E”同时作和行变换相同的列变换，当A化为对角元为“1，-1”的对角阵时，E化为“C”五、证明题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）1、证明：如果,AB均是正定矩阵，则00AB也是正定矩阵。证：①因为A和B都是正定矩阵，所以A和B都是实对称矩阵，又000,000TTTAAABBB因此00AB是实对称矩阵。（2分）②由A和B都是正定矩阵知A和B都和E合同，即存在可逆阵12,CC使得1122,TTCACECBCE；（3分）构造分块阵1200CCC，则C可逆，且（4分）111122220000000000TTTCCAECACCCBECBC（6分）即00AB与单位阵合同，结合①②知00AB是正定矩阵。（7分）2、设A和B是两个同型矩阵，证明：秩()AB秩()A+秩()B。证明方法1：设矩阵A的列向量组为12,,...,nAAA，其极大无关组为12,,...,riiiAAA，（1分）7装订线矩阵B的列向量组为12,,...,nBBB，其极大无关组为12,,...,siiiBBB，（2分）则1212...riiiriAkAkAkA，1,2,...,in（3分）1212...siiisiBlBlBlB，1,2,...,in（4分）故12121212......rsiiiiriiisiABkAkAkAlBlBlB，1,2,...,in即AB的列向量组可由12112,,,...,,,...rsiiiiiiAAABBB线性表示（6分）则秩()AB12112,(,,...,,,...)rsiiiiiirankAAABBBrs=秩()A+秩()B（7分）注意：A组可由B组表示()(),rankArankB证明方法二：由课本166页结论，秩()=A+-BAB秩（（））秩()A+秩(-)B=秩()A+秩()B负号不会改变行列式是否为零的性质，因此不会改变矩阵的秩，故秩(-)B=秩()B3、用f代表()fx，g代表()gx，设(,)1,(,1,2)ijfgij，证明：11221212,,(,)fgfgffgg证明：因为121122,,(,)(,)ffffff121122,,(,)(,)gggggg所以121211121222,,(,)(,)(,)(,)fgfgffggffgg这表明1212(,)(,)ffgg是11fg与22fg的一个公因式；又121112(,)=fvfffu①122122(,)=gvgggu②而(,)1,(,1,2)ijfgij，由课本习题一题13结论可知，12121(,)ffgg，即12121uffvgg③①②③式左右两边相乘知是1212(,)(,)ffgg是11fg与22fg的组合，故由课本习题一题8结论可知1212(,)(,)ffgg是11fg与22fg的最大公因式。8因此，11221212,,(,)fgfgffgg。4、向量组12,,,r线性相关的充要条件是至少有一个向量(1)iir可以被它前面的121,,,i线性表示。证：“必要性”因为向量组12,,...,r线性相关，所以存在不全为零的数12,,...,rkkk，使得1122...0rrkkk（1分）不妨设12,,...,rkkk中最后一个不为0的数是(1)ikir，于是有即i可以被它前面的121,,...,i线性表示。（4分）“充分性”因为向量组中至少有一个向量i可以由它前面的向量线性表示，不妨设，（5分）即（6分）所以向量组12,,...,r线性相关。（7分）1122111(...)iiiikkkk112211...iiilll1122111...0...00iiiirlll