立体几何知识点--方法分类讲解

11．用向量知识来探讨空间的垂直与平行问题，关键是找出或求出问题中涉及的直线的方向向量和平面的法向量，通过讨论向量的共线或垂直，确定线面之间的位置关系。对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．用向量方法求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)，其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。3．空间中各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，其中点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解。设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，交平面于A，则点B到平面的距离为。知识点一：平面的法向量定义：已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量。注意：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。（1）线线平行设直线，的方向向量分别是，，则要证明，只需证明，即。（2）线面平行①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即。②根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量。2③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可。（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。②若能求出平面，的法向量，，则要证明，只需证明。知识点三：用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直。（1）线线垂直设直线，的方向向量分别为，，则要证明，只需证明，即。（2）线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明。②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。（3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直。②证明两个平面的法向量互相垂直。知识点四：利用向量求空间角（1）求异面直线所成的角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则。注意：两异面直线所成的角的范围为（00,900]。两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。（2）求直线和平面所成的角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，3则有。（3）求二面角如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°。若分别为面，的法向量，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。②当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。知识点五：利用向量求空间距离（1）空间两点间距离公式：设点，，则（2）两异面直线距离的求法如图，设，是两条异面直线，是与的公垂线段AB的方向向量，又C，D分别4是，上任意两点，则与的距离是。（3）点面距离的求法：如图，BO⊥平面，垂足为O，则点B到平面的距离就是线段BO的长度。若AB是平面的任一条斜线段，则在Rt△BOA中，。设平面的法向为，则点B到平面的距离为。注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。规律方法指导1．平面法向量的求法（1）平面法向量的确定通常有两种方法：①几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直；②几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量。（2）在空间直角坐标系中，求出一个平面的法向量的坐标，一般步骤如下：①设出平面的法向量为。②找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，，。③根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组④解方程组，取其中的一个解，即得法向量。由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程5组的解中取一个最简单的作为平面的法向量。2．用向量语言表述线与面之间的位置关系设两不同直线，的方向向量分别为，，两不同平面，的法向量分别为，，则①线线平行：，；②线线垂直：；③线面平行：在平面外，；④线面垂直：，；⑤面面平行：，；⑥面面垂直：。关键：用向量知识来探讨空间的垂直与平行问题，关键是找出或求出问题中涉及的直线的方向向量和平面的法向量，通过讨论向量的共线或垂直，确定线面之间的位置关系。3．利用向量求空间角的方法（1）线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为。（2）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（如图）。（3）二面角的求法：设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就6是二面角的平面角或其补角的大小（如图）4．用向量方法求点面距离的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量。线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。