傅里叶变换的工程应用

傅里叶变换的工程应用邓显欣09机电二班摘要:指出了傅里叶变换存在的问题,针对其存在的精确性低和不适用于非平稳信号两大问题展开了讨论,分析了几种提高谱质量的校正方法,对近几年得到迅速发展并形成研究热潮的小波变换技术的概念和其在故障诊断中的应用作了介绍。傅里叶(Fourier)变换在信号分析、处理中起了十分重要的作用,为机械设备的故障诊断提供了一种十分有用的分析基础。这一有力的工具将时域中采集的时间序列数据变换到频域中的谱,使许多在时域中无法看清的问题,通过时域转换变得一清二楚。近年来各种改进了的谱分析技术和各种现代谱的出现使Fourier分析更上一层楼。虽然Fourier变换具有突出的优点,但仍存在一些不足和局限性。本文针对Fourier变换存在的两大问题,展开对Fourier变换精度的提高和适用于非平稳过程的小波分析工程应用上的讨论。1Fourier变换及其局限性1．1Fourier变换信号分析技术的基础是Fourier变换,Fourier变换可以将时域信号变换到频域中的谱。就振动分析而言,各频段的谱分量可以告诉我们信号的各个组成部分,表征着信号的不同来源和不同特征。对于图1所示周期性方波信号x(t),其Fourier级数(FourierSeries)扩展式写作图中An-关系为幅值谱。很明显,频谱中清晰地反映出对应时域信号的频率结构,各频率成分的幅值大小。将x(t)看作周期函数在T→∞时的极限,则将Fourier级数的定义推广到更一般的非周期函数,Fourier变换对如下:既：图一周期性方波及期频谱Fourier变换的物理意义明显,对数字信号作离散Fourier变换已经发展了快速算法FFT。可以在很短时间内作谱分析,从而实现对观测信号的实时分析。频谱估计已成为故障诊断领域中十分重要的特征分析工具。1.2Fourier变换存在的问题1.2.1精度问题系统采集到的信号长度是有限的,FFT和谱分析只能在有限区间内进行,就不可避免地存在由时域截断(加矩形窗)产生的能量泄露,即经FFT得到的频谱其幅值、相位和频率都可能产生较大的误差。现在已有了多种频谱校正的方法。1.2.2不适用于非稳态信号的分析由于指数函数在整个时间域上是非零的,因而Fourier系数是时域信号在整个时域上的加权平均,对时域信号某一特定时刻的性质是无法反映的,即分析不能作局部分析。一种改进的方法是,在分析时对时域信号x(t)加“时间窗”,其加窗Fourier变换如下:窗函数g(t-)中的是可变参数,通过变动控制窗函数在时间轴上移动,实现信号的逐段分析,从而达到对一局部时间内信号变化激烈程度的描述。但加窗Fourier分析仍然有它的局限性,由于“窗”的大小和形状是固定的,因此难以适应信号频率高低不同的要求。实际应用中,对低频信号要求用宽时窗,对高频信号则要求用窄时窗,故而希望有一个可调的时间窗。小波分析正是为适应这一要求发展起来的一种信号分析方法。2.频谱校正方法在设备工况监测和故障诊断中,幅值、频率和相位都是重要的分析参数,不但有实时性要求,也有精度要求。理论分析表明,加矩形窗时单谐波频率的最大误差可达36.4%,即使加其它窗时,也不能完全消除此影响,如加Hanning窗时,只进行幅值恢复时的最大误差仍高达13.5%,相应误差更大,高达90度。从70年代中期,有关学者开始致力于频谱校正理论的研究以期解决离散频谱误差较大的问题,国内主要研究单位是重庆大学,目前国内外提出的几种频谱分析的校正方法有:(1)离散谱三点卷积幅值校正法。在已求出的加能量恢复系数的多段平均功率的基础上,采用系数为1的三点序列与功率谱进行卷积得到校正幅值的功率谱。(2)对幅值谱进行校正的比值法。利用归一化后差值为1的两点函数比值,建立一个以校正频率为变量的方程,解出频率,再进行幅值和相位的校正,校正的频率、幅值和相位可达到很高的精度。(3)FFT谱连续细化分析的Fourier变换法。用FFT作全景谱,针对细化的局部再用DFT进行运算,以得到局部细化精度很高的频谱。这种方法精度很高,但计算速度下降太多。(4)先得到准确相位,再进行频率和幅值校正的方法。通过对同一信号进行不同长度或连续两段FFT或DFT,首先校正得到准确的相位,然后再校正频率和幅值的方法。3.小波变换小波分析的基本思想是采用时窗宽度可调的基函数即小波函数替代前式中的窗函数。小波函数为:相应的小波变换和反变换分别为:变动S和可以得到一族小波函数,变动使信号波形沿时间轴移动,变动S使信号波形沿时间轴伸展或压缩,改变信号分析的频段。因此,小波变换对低频信号(S相对较小)在频域中有很好的分辨率,而对高频信号(S相对较大)在时域中又有很好的分辨率。4.基于小波变换的故障诊断在传统的信号分析处理过程中,常常假设所分析的信号是线性和平稳的,而在实际中有许多过程为非平稳过程,这在故障诊断中更为如此,如故障的发生、发展过程即是一非平稳过程,尤其象旋转机械的摩擦、油膜振荡等故障,其过程是发现故障、诊断故障时急需分析的信号;再如,旋转机械的升降速过程、变换速机械的工况监视与故障分析等,也是非平稳过程。对于这类问题Fourier分析的应用受到限制,而小波分析方法具有突出优点。由于小波分解尤其是小波包分解技术能够将任何信号分解到一个由于小波伸缩而成的基因数族上,信息量完整无缺,在通频范围内得到分布在不同频道内的分解序列,在时域和频域均具有局部化的分析功能。因此,可根据故障诊断的需要选取包含所有零部件故障信息的频道序列,进行深层信息处理以查找机械故障源。小波分析在故障诊断等领域具有广泛的应用前景。5.结束语提高Fourier变换精度的方法仍限于平稳过程,而小波变换适用于工程中许多Fourier变换无法分析的非平稳过程,被认为是对Fourier分析方法的突破性进展,其在图象处理、奇异性检测、故障诊断等方面已有应用,小波变换技术和专家系统、模糊理论和神经网络应用研究一样将具有极广阔的应用前景。参考文献:[1]布赖姆.快速Fourier变换[M]上海:上海科技出版社,19841[2]刘进民等FFT谱连续细化分析的富里叶变换法[J].振动工程学报,1995.(2):162—166.[3]秦前清等实用小波分析[M]西安:西安电子科技大学出版社,1994.