圆均匀压缩或伸长变为椭圆反之椭圆变为圆

探求椭圆与圆的内在联系拓深椭圆概念的理解应用摘要本文通过挖掘椭圆与圆的概念以及方程形式之间的区别与联系，从圆入手，运用类比联想和投影转化的方法，揭示了椭圆与圆之间的内在联系，进一步拓深了椭圆概念的理解和应用。关键词椭圆圆方程平行投影椭圆与圆之间存在着许多相互联系之处，当我们在研究椭圆问题时，若能挖掘椭圆与圆之间的内在联系，对我们加深椭圆问题的理解无疑是有好处的，本文就此问题作些探讨，以供参考。1、概念判别（1）定义在平面上，到一个定点O的距离等于定长R的点的轨迹是圆，O是圆心，R是半径。在平面上，到两个定点1F、2F距离之和等于常数（大于||21FF）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。（2）联系在平面上，取一条定长细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处（如图1），这时画出的轨迹就是椭圆。在讲解椭圆概念时，从学生比较熟悉的圆的概念出发，通过动态演示，对两点分离时所得图形的探究性学习，很自然地得出椭圆的概念，便于学生对概念的理解和掌握。2、方程形式（1）标准方程圆方程：22020)()(Ryyxx，其中),(00yx为圆心，R为半径。椭圆方程：)0(1)()(220220babyyaxx，其中),(00yx为椭圆中心，ba,分别为椭圆的长短半轴长。联系：在椭圆方程中，若取ba，方程即为圆方程形式；两类方程都可转化为)0(022ABEDyCxByAx的一般形式。（2）参数方程圆方程：)2,0[,sincos00RyyRxx，为参数。椭圆方程：)2,0[,sincos00byyaxx，为参数。联系：为说明问题方便，考虑椭圆中心在坐标原点的情况。如图2，以原点O为圆心，)0(,baba为半径分别作两个同心圆，设A为大圆上的任一点，连接OA，与小圆交于B，过点A、B分别x轴，y轴的垂线，两垂线交于点M，设以Ox为始边，OA为终边的角为，点M的坐标为),(yx，那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y，由于点A、B均在角的终边上，由三角函数定义有)2,0[,sinsin||coscos||bOByaOAx。图1BOAM图2xyN在上面对椭圆参数方程推导过程中，我们不难发现：若设A的坐标为),(yx，则，)2,0[,sincosayax，得到yabaabbyxxsinsin，这说明椭圆)0(12222babyax可以看作是把圆222ayx纵向压缩为原来的ab倍而得到。例1、若△ABC为椭圆)0(12222babyax的内接三角形，求△ABC面积的最大值maxS。对此问题，若直接利用椭圆知识来求解，具有一定的难度，若能把它还原成圆来考虑，问题就简单多了。解：如图3，对椭圆12222byax，若x轴方向上保持不变，在y轴方向上的长度都增大为原来的ba倍，则椭圆就变成以O为圆心，a为半径的圆。另一方面，△ABC的面积可以写成（划分为）若干个（至多4个）底边在x轴上的三角形面积之和（或差），（△ABC若是如图所示情形，E、F、G分别为AB、AC、BC与x轴的交点，则EBGGFCAEFABCSSSS，即△ABC可划分成满足上述条件的三个这样的三角形，对于其它情形，类似可得）现将A，B，C三点的纵坐标变为原来的ba倍，所得的对应点分别为CBA,,，则CBA,,在圆O上。由比例的性质可知CBCABA,,与x轴的交点仍分别为E、F、G，因此，ABCCBASbaS，易知圆O的内接三角形CBA面积的最大值为2max433aS，所以椭圆的内接三角形ABC的面积的最大值为abaabSabS4334332maxmax，所以，椭圆12222byax的内接三角形面积最大值为abS433max。3、平行投影我们在作空间几何体时，在平行投影下，用斜二测画法画圆时得到的图形是一个椭圆，运用光线的平行投影，我们还能发现圆与椭圆之间的一些美妙结论。结论1：一束平行光线以角（090）照射到放置在水平地面的球上，则球的阴影部分为一椭圆面，且球与水平面的接触点是椭圆的一个焦点。证明：如图4，补形为圆柱，设球O1与地面的接触点（切点）为F1，再放入一球O2内切于该圆柱，且与水平地面切于F2，在球的阴影的边界上任取一点M，设过M的圆柱的母线PQ分别与球O1和球O2相切于P、Q两点，则由切线长性质得：|MF1|=|MP|，|MF2|=|MQ|，故有：|MF1|+|MF2|=|MP|+|MQ|=|PQ|（定值），由椭圆的定义可知，点M在以F1、F2为焦点的椭圆上，即球的阴影部分为一椭圆面，且F1、F2为椭圆焦点。A0yx图3BCA’B’C’EFGF1F2MPQO1O2图4结论2：运用结论1，我们还可以得到椭圆12222byax的面积公式S椭圆=ab。由图4，设球的半径为b，则椭圆的短轴长为b2。设椭圆的长轴长为a2，则椭圆的方程为12222byax。设垂直于平行光线的球O2的大圆面为S，则S为椭圆面在面S上的射影，由平行光线与水平面所成的角为可知，椭圆面与面S所成的角为2，由射影定理可得：椭圆大圆SS)2cos(，即S椭圆=S大圆sin，又因为sin=2b2a=ba，S大圆=b2，故S椭圆=b2ba=ab。上述证明思路，是通过对椭圆作垂直投影，把椭圆问题转化成圆来考虑，从而把一个高等数学中的椭圆面积计算轻易地转化为初等数学问题并得以解决。椭圆与圆之间存在着许多内在联系，我们在学习和研究椭圆问题时，若能有意识地挖掘椭圆与圆之间的内在联系，通过类比联想和相互转化，这对加深椭圆概念的理解和椭圆性质的探求无疑是有帮助的。参考文献1、普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修2-1），人民教育出版社，20052、普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修4-4），人民教育出版社，2005发表于数学教学通讯2009年第7期.