2012届高考复习方案数学理科(北师版)第2单元第11讲 函数与方程

第11讲│函数与方程第11讲函数与方程知识梳理1．一般地，如果函数y＝f(x)的图像与横轴有交点，我们把这个交点的________称为这个函数的______．2．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有______⇔函数y＝f(x)有______．3．(1)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线；(2)并且满足__________．那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即至少存在一个c∈(a，b)，使________．满足上面条件(1)、(2)后，在(a，b)内存在的c不一定只有一个．第11讲│知识梳理横坐标零点交点零点f(a)·f(b)＜0f(c)＝04．函数f(x)的图像是一条连续的曲线，且在区间[a，b]上有f(a)·f(b)0，通过不断地选取区间的中点，把函数f(x)所在的零点区间__________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为________．第11讲│知识梳理一分为二二分法要点探究►探究点1方程的根与函数的零点第11讲│要点探究例1[2010·福建卷]函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x0的零点个数为()A．3B．2C．1D．0[思路]分别确定分段函数在各段解析式中的零点个数．[答案]B第11讲│要点探究[解析]当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x＞0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以已知函数有2个零点，选B.[点评]函数f(x)的零点是一个实数(不是点)，就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，因此判断零点的个数就是判断方程f(x)＝0的实根个数，有时也可以根据函数图像的交点来判断零点的个数，如：第11讲│要点探究函数y＝lnx＋2x－6的零点个数为________．[答案]一个[解析]在同一坐标系画出y＝lnx与y＝6－2x的图像，由图可知两图像只有一个交点，故函数y＝lnx＋2x－6只有一个零点．►探究点2函数零点位置的判断第11讲│要点探究[思路]对于区间上连续不断的函数，在区间[a，b]内寻根，往往需要利用零点的存在性定理判断，即判断f(a)f(b)0是否成立．例2判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．第11讲│要点探究[解答](1)方法一：因为f(1)＝－20＜0，f(8)＝22＞0，所以f(1)·f(8)＜0，故f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．方法二：令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或6，所以函数f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．(2)∵f(－1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0，∴f(x)＝x3－x－1在x∈[－1,2]上存在零点．(3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1＝log23－1＞0，f(3)＝log2(3＋2)－3＝log25－3＜0，∴f(1)·f(3)＜0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在x∈[1,3]上存在零点．[点评]零点的存在性定理是判断连续不断的函数在区间[a，b]上是否存在零点的定理，该定理只能判断存在零点，不能判断区间[a，b]不存在零点，即如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)f(b)0，函数在区间[a，b]上也可能存在零点，如：第11讲│要点探究[答案]D[2009·天津卷]设函数f(x)＝x－lnx(x0)，则y＝f(x)()A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点[解答]由题意得f′(x)＝－＝，令f′(x)0，得x3；令f′(x)0，得0x3；f′(x)＝0，得x＝3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln30.又f(1)＝，f(e)＝－10，f＝＋10，故选择D.►探究点3二次函数零点的分布问题例3已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．第11讲│要点探究[思路]设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制．[点评]本题综合考查了二次函数、二次方程以及二次不等式等的基本关系，有效地训练对“三个二次”的整体理解与掌握，解题过程中的数形结合是数学的重要思想方法．[解答](1)条件说明抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得f0＝2m＋10，f－1＝20，f1＝4m＋20，f2＝6m＋50⇒m－12，m∈R，m－12，m－56，∴－56m－12.第11讲│要点探究(2)据抛物线与x轴两交点均落在区间(0,1)内，列不等式组f00，f10，Δ≥0，0－m1⇒m－12，m－12，m≥1＋2或m≤1－2，－1m0.∴－12m≤1－2.第11讲│要点探究第11讲│要点探究求a为何值时，方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0有实根．[解答]令t＝3－|x－2|∈(0,1]，则原方程转化为t2－4t－a＝0在(0,1]内有实根，令y＝f(t)＝t2－4t－a，其对称轴是t＝－－42×1＝21，如图，方程t2－4t－a＝0在(0,1]内恰有一解，则f00，f1≤0，解得－3≤a0，故当－3≤a0时，原方程有实根．►探究点4利用函数零点求参数例4(1)若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的值；第11讲│要点探究[思路]函数的类型为初等函数，因此可以利用方程的思想求解[解答]若a＝0，则f(x)＝－x－1，令f(x)＝0，即－x－1＝0，得x＝－1，故符合题意；若a≠0，则f(x)＝ax2－x－1是二次函数，故有且仅有一个零点等价于Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－14.综上所述，a＝0或a＝－14.第11讲│要点探究[思路]通过图像变换法作出函数的图像，利用数形结合思想求解．(2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．[解答]若f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，即|4x－x2|＋a＝0有四个根，即|4x－x2|＝－a有四个根．令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.作出g(x)、h(x)的图像，由图像可知如果要使|4x－x2|＝－a有四个根，那么g(x)与h(x)的图像应有4个交点．故需满足0＜－a＜4，即－4＜a＜0.∴a的取值范围是(－4,0)．第11讲│要点探究[点评]函数形结合法是解决利用函数零点求参数问题的基本思想，其要点是通过构造函数，把函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题．第11讲│要点探究已知函数f(x)＝x|x－4|－5，当方程f(x)＝a有三个根时，求实数a的取值范围．[解答]f(x)＝x|x－4|－5＝x2－4x－5，x≥4，－x2＋4x－5，x＜4，在平面直角坐标系中画出该函数的图像可得当直线y＝a与该函数的图像有三个交点时，a的取值范围是－5＜a＜－1.规律总结第11讲│规律总结1．方程的根(从数的角度看)、函数图像与x轴的交点的横坐标(从形的角度看)、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式．2．函数零点的求法：(1)代数法：利用公式法、因式分解法、直接法求方程f(x)＝0的根．(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点．(3)二分法：主要用于求函数零点的近似值．第11讲│规律总结3．要注意对于在区间[a，b]上的连续函数f(x)，若x0是f(x)的零点，却不一定有f(a)·f(b)0，即f(a)·f(b)0仅是f(x)在[a，b]上存在零点的充分条件，而不是必要条件．4．有关函数零点的重要结论(1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值符号可能不变，也可能改变．5．用二分法求零点的近似解时，所要求的精确度ε不同，得到的结果也不同．精确度为ε是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算．精确度为0.001与精确到0.001是不同的．