2012届高考复习方案数学理科(北师版)第3单元第20讲-两角和与差的三角函数

第20讲│两角和与差的三角函数第20讲两角和与差的三角函数1．两角和与差的三角函数公式(1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；(2)sin(α－β)＝____________________；(3)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(4)cos(α－β)＝____________________；知识梳理第20讲│知识梳理sinαcosβ－cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ(5)tan(α＋β)＝________________其中α≠kπ＋π2，β≠kπ＋π2，α＋β≠kπ＋π2，k∈Z；(6)tan(α－β)＝________________其中α≠kπ＋π2，β≠kπ＋π2，α－β≠kπ＋π2，k∈Z.第20讲│知识梳理tanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβ第20讲│知识梳理2．二倍角的三角函数公式(1)sin2α＝____________；(2)cos2α＝________＝________＝________；(3)tan2α＝__________(公式成立的条件是_________________________且______________)．2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2αα≠π4＋kπ2α≠π2＋kπ(k∈Z)第20讲│知识梳理3．公式的变形(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；(2)tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；(3)asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2；(4)sin2α＝________________，cos2α＝____________，它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用．1－cos2α21＋cos2α2要点探究►探究点1基本公式的应用第20讲│要点探究1(1)[2010·福建卷]计算sin43°cos13°－cos43°·sin13°的结果等于()A.12B.33C.22D.32(2)[2010·福建卷]计算1－2sin222.5°的结果等于()A.12B.22C.33D.32第20讲│要点探究(3)已知α∈π2，π，sinα＝35，则tanα＋π4等于()A.17B．7C．－17D．－7[思路](1)直接根据两角差的正弦公式把其化为特殊角的三角函数；(2)直接根据余弦的二倍角公式把其化为特殊角的三角函数；(3)根据诱导公式化简求解目标后，根据二倍角的余弦公式进行计算．第20讲│要点探究[解析](1)sin(43°－13°)＝sin30°＝12，故选A.(2)原式＝cos45°＝22，故选B.(3)由α∈π2，π，sinα＝35可得tanα＝－34，对tanα＋π4进行恒等变形化为1＋tanα1－tanα，把tanα＝－34代入计算得17.选A.[答案](1)A(2)B(3)A►探究点2变形公式的应用第20讲│要点探究2(1)(1＋tan20°)(1＋tan21°)(1＋tan24°)(1＋tan25°)＝________.(2)[2010·杭州二检]若sin3π2－2x＝35，则tan2x＝________.第20讲│要点探究[思路](1)观察可知目标式中含有两个角的和是45°，两项结合展开后使用两角和正切公式的变形；(2)本题考查三角基本公式的应用及求值的常规技能、技巧，属于简单题．根据诱导公式求出cos2x的值，根据同角三角函数关系把求解目标化为，然后使用余弦的二倍角公式的变形．[答案](1)4(2)4[解析](1)(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝1＋tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°＝1＋tan(20＋25°)(1－tan20°tan25°)＋tan20°tan25°＝2，同理(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝2，所以原式＝4.(2)由sin3π2－2x＝－cos2x⇒cos2x＝－35，tan2x＝sin2xcos2x＝1－cos2x1＋cos2x＝4.第20讲│要点探究第20讲│要点探究[点评]三角恒等变换公式的变形主要是：(1)两角正切的和差公式的变形，即tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1∓tanαtanβ)，这个变形当α±β是特殊角时，可以很方便地解决一些问题；(2)余弦的二倍角公式的变形，即cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，以及这个变形所得到的降幂公式，在含有二倍角的三角函数和单角的平方的三角函数问题中，降幂公式可以把单角的三角函数的平方化为二倍角的三角函数，便于问题的解决．►探究点3公式的综合应用第20讲│要点探究3对于任何α，β∈0，π2，sin(α＋β)与sinα＋sinβ的大小关系是()A．sin(α＋β)sinα＋sinβB．sin(α＋β)sinα＋sinβC．sin(α＋β)＝sinα＋sinβD．要以α，β的具体值而定第20讲│要点探究[思路](1)根据两角和的公式展开sin(α＋β)后，利用余弦函数的范围进行放缩；(2)求解目标与角γ无关，通过同角三角函数关系消掉角γ，求出β－α的一个三角函数值再确定其大小．第20讲│要点探究[答案]B[解析]sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，0cosβ1,0cosα1，所以sin(α＋β)sinα＋sinβ.[点评]三角恒等变换公式的运用往往不是单纯的，在解题中需要把这些公式和相关的知识综合在一起使用三角恒等变换公式．第20讲│要点探究在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C的值为()A.π6B.5π6C.π6或5π6D.π4[思路]观察式子的结构特点可以平方相加得sin(A＋B)的值，但要注意隐含条件的制约．[答案]A第20讲│要点探究[解析]两式平方相加得sin(A＋B)＝12，A＋B＝π6或5π6，由sinA＝6－4cosB3≥23知Aπ6，故A＋B＝5π6，故C＝π6.第20讲│要点探究4已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2.(1)求tan2α的值；(2)求β.[思路](1)借助于同角三角函数基本关系式，求出tanα，再运用二倍角公式求解；(2)注意联系已知角和所求角，β＝α－(α－β)，再运用差角公式求解．第20讲│要点探究[解答](1)由cosα＝17，0＜α＜π2，得sinα＝1－cos2α＝1－172＝437，∴tanα＝sinαcosα＝437×71＝43，于是tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－32＝－8347.第20讲│要点探究(2)由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，又0βπ2，∴β＝π3.规律总结第20讲│规律总结1．三角恒等变换的依据是两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，其中正切的和差角公式的变形、二倍角余弦公式的变形在解题中起重要作用，要掌握这些变形公式及其应用，特别是二倍角的余弦公式的变形，它能起到化倍角为单角的升幂作用，也能起到化单角为倍角的降幂作用．注意和差倍都是相对的，如4α是2α的倍角，但是是8α的半角．第20讲│规律总结2．两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数运算规律”，对公式要会“正用”“逆用”“变形用”，记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号“＋”“－”的变化特点．第20讲│规律总结3．在使用三角恒等变换公式解决问题时，“变换”是其中的精髓，在“变换”中既有公式的各种形式的变换，也有角之间的变换，如把π2＋2α变换成2π4＋α，在复习该部分时，要始终体会“变换”的思想方法，体会“变换”的技巧．