高中数学第二章推理与证明章末优化总结课件新人教A版选修22

章末优化总结网络体系构建专题归纳整合章末检测专题一合情推理的应用归纳推理和类比推理是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳推理是由部分特殊的对象得到一般性的结论的推理方法，它在科学研究或数学学习中有着重要的作用，有助于发现新知识、探索新规律、检验新结论，或预测答案、探索解题思路等；类比推理是由特殊到特殊的推理，它以比较为基础，有助于启迪思维、触类旁通、拓宽知识、发现命题等．合情推理的结论不一定正确，有待于演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．如图所示是一个有n层(n≥2，n∈N*)的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第n层每边有n个点，则这个点阵共有________个点．[解析]设第n层共有an个点，结合图形可知a1＝1，a2＝6，…，an＋1＝an＋6(n≥2，n∈N*)，则an＝6＋(n－2)×6＝6n－6(n≥2，n∈N*)，前n层所有点数之和为Sn＝1＋n－1[6＋6n－6]2＝3n2－3n＋1，故这个点阵共有3n2－3n＋1个点．[答案]3n2－3n＋11．观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有________个小正方形．解析：设第n个图形中小正方形的个数为Sn，观察图形，当n＝1时，S1＝2＋1；当n＝2时，S2＝3＋2＋1；当n＝3时，S3＝4＋3＋2＋1；当n＝4时，S4＝5＋4＋3＋2＋1；当n＝5时，S5＝6＋5＋4＋3＋2＋1；…，可得Sn＝(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝[1＋n＋1]·n＋12＝n2＋3n＋22.答案：n2＋3n＋222．设f(x)＝12x＋2，利用推导等差数列前n项和方法——倒序相加法，求f(－5)＋f(－4)＋f(－3)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)．解析：由已知可得f(x)＋f(1－x)＝12x＋2＋121－x＋2＝12＝22.设S＝f(－5)＋f(－4)＋f(－3)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)．又S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－3)＋f(－4)＋f(－5)，∴2S＝12[f(－5)＋f(6)]＝12×22＝62，∴S＝32.3．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)．(1)已知a、b为实数，且|a|1，|b|1，求证：ab＋1a＋b.(2)已知a、b、c均为实数，且|a|1，|b|1，|c|1，求证：abc＋2a＋b＋c.证明：(1)ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)0.(2)∵|a|1，|b|1，|c|1，据(1)得(ab)·c＋1ab＋c，∴abc＋2＝[(ab)·c＋1]＋1(ab＋c)＋1＝(ab＋1)＋ca＋b＋c.专题二演绎推理的应用演绎推理是由一般到特殊的推理，一般模式为“三段论”，包括：大前提——已知的一般原理．小前提——所研究的特殊情况．结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得的结论就一定正确．注意，错误的前提和推理形式会导致错误的结论．注意：寻找出演绎推理的大前提是解题的关键．已知{an}是各项均为正数的等差数列．lga1，lga2，lga4成等差数列，又bn＝1a2n(n＝1,2,3，…)．证明：{bn}为等比数列．[证明]因为lga1，lga2，lga4成等差数列，所以2lga2＝lga1＋lga4，即a22＝a1a4.若{an}的公差为d，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，a1d＝d2，从而d(d－a1)＝0.①若d＝0，{an}为常数列，相应{bn}也是常数列，此时{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列．②若d＝a1≠0，则a2n＝a1＋(2n－1)d＝2nd，bn＝1a2n＝12nd.这时{bn}是首项b1＝12d，公比为12的等比数列．综上可知，{bn}为等比数列．4．(2014·高考安徽卷)数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.(1)证明：数列{ann}是等差数列；(2)设bn＝3n·an，求数列{bn}的前n项和Sn.解析：(1)证明：由已知可得an＋1n＋1＝ann＋1，即an＋1n＋1－ann＝1.所以{ann}是以a11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得ann＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.从而bn＝n·3n.Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝3·1－3n1－3－n·3n＋1＝1－2n·3n＋1－32.所以Sn＝2n－1·3n＋1＋34.5．已知函数f(x)＝2x－12x＋1(x∈R)．(1)判定函数f(x)的奇偶性；(2)判定函数f(x)在R上的单调性，并证明．解析：(1)对∀x∈R有－x∈R，并且f(－x)＝2－x－12－x＋1＝1－2x1＋2x＝－2x－12x＋1＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)法一f(x)在R上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈R，并且x1＞x2，f(x1)－f(x2)＝2x1－12x1＋1－2x2－12x2＋1＝2x1－12x2＋1－2x2－12x1＋12x1＋12x2＋1＝22x1－2x22x1＋12x2＋1.∵x1＞x2，∴2x1＞2x2＞0，即2x1－2x2＞0，又∵2x1＋1＞0,2x2＋1＞0.∴22x1－2x22x1＋12x2＋1＞0.∴f(x1)＞f(x2)．∴f(x)在R上为单调递增函数．法二f′(x)＝2x＋1ln22x＋12＞0，∴f(x)在R上为单调递增函数．专题三综合法与分析法综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．已知α∈(0，π)，求证：2sin2α≤sinα1－cosα.[证明]证法一：(分析法)要证明2sin2α≤sinα1－cosα成立．只需证明4sinαcosα≤sinα1－cosα.因为α∈(0，π)，所以sinα0.只要证明4cosα≤11－cosα.上式可变形为4≤11－cosα＋4(1－cosα)．因为1－cosα0，所以11－cosα＋4(1－cosα)≥211－cosα·41－cosα＝4，当且仅当cosα＝12，即α＝π3时取等号．所以4≤11－cosα＋4(1－cosα)成立．所以不等式2sin2α≤sinα1－cosα成立．证法二：(综合法)因为11－cosα＋4(1－cosα)≥4，1－cosα0，当且仅当cosα＝12，即α＝π3时取等号，所以4cosα≤11－cosα.因为α∈(0，π)，所以sinα0.4sinαcosα≤sinα1－cosα，所以2sin2α≤sinα1－cosα.6．已知a，b0，且a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.证明：∵a，b0，且a＋b＝1，∴要证1a＋1b≥4，只要证(1a＋1b)ab≥4ab，即证a＋b≥4ab，也就是证4ab≤1.而又由已知，1＝a＋b≥2ab，得4ab≤1成立．故原不等式成立．7．设a，b，c＞0，证明：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.证明：∵a，b，c＞0，根据均值不等式，有a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c.三式相加：a2b＋b2c＋c2a＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．当且仅当a＝b＝c时取等号．即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.专题四反证法(1)如果一个命题的结论难以直接证明，可以考虑运用反证法．通过反设结论，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立．(2)反证法着眼于命题的转换，改变了研究的角度和方向，使论证的目标更为明确，由于增加了推理的前提——原结论的否定，更易于开拓思路，因此对于直接论证较为困难的时候，往往采用反证法证明．所以反证法在数学证明中有着广泛的应用．已知：a＋b＋c0，ab＋bc＋ca0，abc0.求证：a0，b0，c0.[证明]用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数．不妨设a0，b0，c0，则由a＋b＋c0，可得c－(a＋b)，又a＋b0，所以c(a＋b)－(a＋b)(a＋b)，ab＋c(a＋b)－(a＋b)(a＋b)＋ab，即ab＋bc＋ca－a2－ab－b2，因为a20，ab0，b20，所以－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)0，即ab＋bc＋ca0，这与已知ab＋bc＋ca0矛盾，所以假设不成立．因此a0，b0，c0成立．8．已知a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.证明：假设a＋b2，那么a2－b，所以a3(2－b)3＝8－12b＋6b2－b3，即a3＋b38－12b＋6b2.因为a3＋b3＝2，所以8－12b＋6b22，化简得b2－2b＋10，即(b－1)20，这与(b－1)2≥0矛盾，所以假设不成立，故当a3＋b3＝2时，a＋b≤2.专题五数学归纳法数学归纳法是一种直接证明的方法，主要用来证明与正整数n有关的命题．(1)用数学归纳法证明命题的具体步骤是：①证明当n取第一个值n0(例如，n0＝1，n0＝2等)时结论正确；②假设当n＝k(k∈N*且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对从n0开始的所有的自然数n都正确．(2)在用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，第一步是递推的基础，缺少第一步，递推就缺乏正确的基础．一方面，第一步再简单，也不能省略；另一方面，第一步只要考查使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考查几个正整数．第二步是递推的根据，仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的基础，这说明了缺少第一步这个基础，第二步的递推也就没有意义了．只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性的结论．设关于正整数n的函数f(n)＝1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2，(1)求f(1)，f(2)，f(3)．(2)是否存在常数a，b，c使得f(n)＝nn＋112(an2＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论．[解析](1)f(1)＝4，f(2)＝22，f(3)＝70.(2)假设存在a，b，c使题设的等式成立，这时，n＝1,2,3得a＋b＋c＝24，4a＋2b＋c＝44，9a＋3b＋c＝70.解得：a＝3，b＝11，c＝10.于是，对n＝1,2,3下面等式成立：1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝nn＋112(3n2＋11n＋10)．记Sn＝1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2.假设n＝k时上式成立，即Sk＝kk＋112(3k2＋11k＋10)．那么Sk＋1＝Sk＋(k＋1)(k＋2)2＝kk＋112(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2＝kk＋112(k＋2)(3k＋5)＋(k＋1)(k＋2)2＝k＋1k＋212(3k2＋5k＋12k＋24)＝k＋1k＋212[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]，也就是说，等式对n＝k＋1也成立，综上所述，当a＝3，b＝11，c＝10时，题设的等式对一切自然数n成立．9．求证：12＋13＋14＋…＋12n－1＞n－22(n≥2)．证明：①当n＝2时，左＝12＞0＝右，∴不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立．即12