2.1 平面向量的实际背景及基本概念 课件(人教A必修4)

NO.1课堂强化考点三2.1平面向量的实际背景及基本概念课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章平面向量考点一考点二读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.2课下检测[读教材·填要点]1．向量的定义既有，又有的量称为向量．2．向量的表示方法(1)用有向线段表示：带有的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作.(2)用字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时用带箭头的小写字母，，，…表示向量．大小方向方向ABabc3．向量的长度(模)|AB|(或|a|)表示向量AB(或a)的，即长度(或称模)．大小4．向量的有关概念零向量长度等于的向量，记作单位向量长度等于的向量平行向量(共线向量)方向的非零向量．向量a，b平行，记作.规定：零向量与任一向量相等向量长度且方向的向量．向量a，b相等，记作零1个单位相同或相反相等相同a∥ba＝b0[小问题·大思维]1．“向量就是有向线段，有向线段就是向量”这一说法对吗？提示：不对．向量只有大小和方向两个元素，与起点无关，有向线段有起点、大小和方向．2．单位向量都是相等向量对吗？提示：不对．单位向量大小相等而方向不一定相同．3．零向量没有方向是否正确？提示：不正确．零向量的方向不确定，即方向是任意的．[研一题][例1]有下列说法：①若a≠b，则a一定不与b共线；②若AB＝DC，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；③在▱ABCD中，一定有AD＝BC；④若a＝b，b＝c，则a＝c；⑤共线向量是在一条直线上的向量．其中，正确的说法是________．[解析]：对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；对于②，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；对于③，在▱ABCD中，|AD|＝|BC|，AD与BC平行且方向相同，所以AD＝BC，故③正确；对于④，a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故④正确；对于⑤，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故⑤不正确．[答案]③④[悟一法]1．解决此类问题的关键是准确理解相关概念，并注意零向量的特殊性．2．两向量平行(共线)，有两向量所在的直线平行或重合两种可能．[通一类]1．判断下列说法是否正确．(1)若向量a＝AB，b＝BA，则|a|＝|b|；(2)若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；(3)若向量AB是单位向量，则BA也是单位向量；(4)以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．解：(1)正确，由于|a|＝|AB|＝|AB|，|b|＝|BA|＝|BA|＝|AB|，因此有|a|＝|b|.(2)不正确，由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，但是对方向没有任何要求，因此说法(2)不正确．(3)正确，因为|AB|＝|BA|，所以当AB是单位向量时，BA―→也是单位向量．(4)正确，由于向量|AP|＝1，所以点P是以点A为圆心的单位圆上的一点．反过来，若点P是以点A为圆心，1为半径的单位圆上的任一点，则由于|AP|＝1，所以向量AP是单位向量，因此说法(4)正确.[研一题][例2]已知汽车从A地按北偏东30°的方向行驶200km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向行驶200km到达C地，再从C地按西南方向行驶100km到达D地，作出向量AB，BC，CD(用1cm表示100km)[自主解答]向量AB，BC，CD如图．解：实际位移即为向量AD.例2中汽车的实际位移可用图中的哪个向量表示？[悟一法]画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定终点标出箭头方向．[通一类]2．在如图所示的坐标纸(每个方格的边长均为1)中，用直尺和圆规画出下列向量．(1)|OA|＝3，点A在点O正西方向；(2)|OB|＝32，点B在点O北偏西45°方向；(3)|OC|＝2，点C在点O南偏东60°方向．解：如图所示：[研一题][例3]如图，D、E、F分别是正三角形ABC各边的中点．(1)写出图中所示向量中与向量DE长度相等的向量；(2)写出图中所示向量中与向量FD相等的向量；(3)分别写出图中所示向量中与向量DE、FD共线的向量．[自主解答](1)与DE长度相等的向量是EF、FD、AF、FC、BD、DA、CE、EB.(2)与FD相等的向量是CE、EB.(3)与DE共线的向量是AC、AF、FC；与FD共线的向量是CE、EB、CB.[悟一法]判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．而对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．[通一类]3．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的13处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为a3的若干个向量，则(1)与向量GH相等的向量是________；(2)与向量GH共线，且模相等的向量是________；(3)与向量EA共线，且模相等的向量是________．解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等．向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．答案：(1)LB，HC(2)EC，LE，LB，GB，HC(3)EF，FB，HA，HK，KB在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务，它从A点出发向西航行了200km到达B点，然后改变方向，向西偏北50°航行了400km到达C点，最后又改变方向，向东航行了200km到达D点，此时，它完成了此片海区的巡逻任务．请你回答下列问题：(1)作出向量AB，BC，CD；(2)求|AD|.[巧思]运用向量观点将实际问题抽象成数学模型．根据向量的关系确定|AD|.[妙解](1)作向量AB，BC，CD，如图．(2)由题意，易知AB与CD方向相反，所以AB与CD共线．所以AB∥CD.又因为|AB|＝|CD|，所以四边形ABCD为平行四边形．所以|AD|＝|BC|＝400(km)．