生灭过程理论及其应用

生灭过程理论及其应用摘要：综述生灭过程的相关理论，如生灭过程几个重要的数字特征及其概率意义、生灭过程的构造及分类以及生灭过程的遍历性与0-1律．当过程中断时，构造出全部过程，证明全体生灭过程与全体特征数列间存在一一对应。在理论的基础上应用实例研究生灭过程在排队论、生物学中的应用。关键词：生灭过程：数字特征：构造与分类：遍历性：0-1律；应用一、生灭过程的相关理论1、阐述Q一矩阵的数字特征的概率意义定义1取值于E={0，1，2，⋯}的齐次马氏链{,0}Xxtt为生灭过程．如果其转移概率,,ijPtptijE满足条件：当0t时有11,,1,iiiiiiiiiiptbtotptatotptabtot（1）其中，00,0,0,0iiaabi。令iiicab，称001110...000......000...........................000..............................nnncbacbQacb（2）为过程X的密度矩阵或Q一矩阵．引进Q的几个重要数字特征001mb，11011...10...iiiikikiiiikikaaamibbbbb；1011...10...iiikikiiiikikbbbeiaaaaa，0iiRm，1iiSe；00Z，101Zb，1121012...11...nknkkaaaZnbbbb，limnnZZ.假设X是典范链，因而它有强马氏性，而且在第一个飞跃点前样本函数是右连续的。以w表示第一个飞跃点，以nw表示首达状态n的时刻，即inf:0,,t-nttxtn当右方集非空，，否则.由[1]4.3引理2得lim,..nnwwas。这里..as对P或iP0i而言均可。定理1：1iiimE；0RE由定理1说明im的概率意义是自i出发，首次达到1i的平均时间；R是自0出发，沿生灭过程的轨道。首次达到“”的平均时间。下面证明在一定意义下，从“”到达0的平均时间恰好是S.考虑N+1级矩阵000111110...000...000.....................000...000...0NNNNNcbacbQacbcc（3）它由Q中前N+1行与前N+1列上的元构成，但要将第N+1行与第N列的元Na换成NNab。设{,0}NNijXxttPt是以NQ为密度矩阵的典范马氏链，相空间为0,1,...,N。由（3）可见0与N都是NX的反射壁，定义inf:0,,0NiNttxtiiN。它是首达i的时刻。NX的转移概率NijPt及集中在一点i上的开始分布所产生的测度记为NiP，关于NiP的数学期望记为NiE。定理20limNNNNES；当1NNNiiieE时，limNiiNee。由定理2可知ie，S的概率意义为：当“”是反射壁时，自i出发首次到达i-1及自“”出发首次到达0的平均时间。下面来看,nZZ的概率意义。定义,,kkmnPmnPmknmkn或kkmnqmP其中,kPmn是自k出发，沿X的轨道，在首达n以前先到m的概率，kqm是自k出发，沿X的轨道，经有穷（1）次跳跃而到达m的概率。定理3（i）设mkn，则,nkknmZZPmnZZ；,kmknmZZPnmZZ.（ii）1,;1,;,.kmkkkkkkkZZkmZZqmkmabZZkmccZZ当当当（iii）当且仅当Z时，嵌入马氏链的一切状态都是常返的。2、生灭过程的构造凡有形如(1)且转移概率相同的马程，均视为同一马程．不失一般性，不妨设X为可分，Borel可测，右下半连续的强马程．质点沿X的轨道，如自i出发，在i停留一段指数分布时间1后，只能跳到i+1或i一1，概率分别为iibc及iiac；再停留时间2后，又发生跳跃，如前继续运动⋯⋯令iPxiviE,可以证明概率10P或．如1P，则X的轨道由Q(及一开始分布)完全决定．如1P，则Q不能唯一决定X(或Pt)，J．L．Doob证明，这时必有无穷多个不同的马程，具有相同的密度矩阵Q，称其中任何一个为Q一过程．Doob还构造出一些Q一过程，称之为Doob(Q，V)一过程，其中01,,...Vvv为任一概率分布．质点沿(Q，V)一过程的运动行为如下：质点从i出发，如上所述，作无穷次跳跃后，到达时刻，但x的分布不能由Q给出．Doob取它为V，即iPxiviE．这样，质点又回到E中，于是又可按如上方式运动．然而，Doob所构造的只是一部分Q一过程．如何构造出全部Q一过程，这就是过程构造论所要解决的问题．构造问题是一重要而又深刻的理论问题，1958年王梓坤用他首创的概率方法——过程轨道的极限过渡法，求出了全部Q一过程，其基本思想是：先构造一列比较简单的Doob(Q，V)一过程，然后用它们逼近任一Q一过程．差不多同时，概率论大家W．Fellert也研究了生灭过程的构造，他应用分析方法找出许多Q一过程，但非全部．前苏联教授A．AYoushkevich评论说：“W．Feller用分析方法构造了生灭过程的不同延拓,同时王梓坤构造了全部延拓．”分析方法简洁，但概率意义不清楚；概率方法则概率意义非常清晰，但叙述冗长．其后杨向群对于生灭过程建立了这两种方法之间的联系，并兼用这两种方法对更广泛的Q收到了更多更好的效果．令inf:,,nnnittxtnvPxi。今定义过程X的特征数列,,,0npqrn如下：10000000lim/;lim/nnnnnnniiiinniinniiipvcvcqvcvc10000000lim/;lim/nnnnnniiiiniinniiipvcvcqqcvc；如果一切10nnvn,定0nr0n,如果存在k，使1iivik，但11kkv1,则先任取一常数kr;定义mmnnkkrvrv（不依赖于max,mnk），除差一正常数因子外，,,npqr被过程X唯一决定，它们非负，且满足条件01;0,S=0,0,;00,iiijijinpqqrRpRmrn当；当当p=0.（4）今设已给一形如(2)的矩阵Q，满足R，全体Q一过程的集合记为B；另一方面，全体满足条件(4)的非负数列记为c，可以证明，在与C之间存在一一对应．更精确些，有以下定理：Q一过程构造定理1)任一Q一过程的特征数列,,npqr必满足条件(4)．2)反之，任给一满足条件(4)的非负数列,,npqr，必存在唯一Q一过程，其特征数列重合于此已给数列；而且此Q一过程的转移概率limnijijijnptptpt可如下求出：limnijijnptpt，其中ijpt是Doob(Q，V)一过程的转移概率，这里分布01,,...,nnnnnVvvv，其中：ln0,ljnnininnnnnnrcrvXjnvYXAAln00nliArc,0nnnnnpAZZXpAZZqAZ,00nnnqAZYpAZZqAZ.3、生灭过程的遍历性与0-1律对于一般的马氏链，其0-1律、常返性与过分函数都有了相应的结论，而生灭过程作为一种特殊的马氏链，在上述性质上也有更完整的结果。设{,0}Xxtt为定义在,,PF上的生灭过程，不妨不妨设X为可分，Borel可测的，它的密度矩阵Q为（2），其数字特征同上所述。引进随机变量inf:,,,t-ittTxtig当右方集非空；，反之.这里T为X的第一个跳跃点，因而ig是经过第一次跳跃后的首达i的时刻。而iiEg是自i出发，离开i后首次回到i的平均时间.称X遍历，如它常返，而且对一切iE，iiEg.关于生灭过程的0-1律与遍历性有以下定理成立。定理4设R，则X常返的充要条件是Z；X遍历的充要条件是,iZe.定理5如R，则一切Q-过程遍历（因而都常返）.定理6设X为任意生灭过程，if为X的任一过分函数，则必存在极限limiiff。如R或R，则iff（常数）.定理7对一切生灭过程X，强0-1律成立.注：本论文第一部分是对生灭过程的理论进行的综述文章，具体定理证明请查阅文献[1].参考文献：[1]WangZikun，YangXiangqun．Birthanddeathprocessesandmarkovchains[M]．SpringerVerlagPress，SciencePress，1992．[2]王梓坤．生灭过程停留时间与首达时间的分布[J]．中国科学，1980，10(2)：109—117．[3]王梓坤．随机过程与今日数学[M]．北京：北京师范大学出版社，2005.[4]王梓坤.生灭过程的构造与泛函分布。北京：保定学院学报，2010.