拉普拉斯变换

第十四章拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一个数学工具，它可以将时域里的高阶微分方程变换为复频域里的代数方程，从而大大简化求解过程。由于这个变换是唯一的，因而复频域里的解也唯一地对应着原时域里微分方程的解，通过反变换即可得到微分方程的解。这样就为分析解决高阶电路提供了一个简便和实用的方法——运算法。因此，拉普拉斯变换涉及到正变换和反变换两方面。§14-1拉普拉斯变换的定义§14-2拉普拉斯变换的性质§14-3拉普拉斯反变换的部分分式展开法§14-4运算电路§14-5应用拉普拉斯变换法分析线性电路§14-1拉普拉斯变换的定义一、拉普拉斯变换的由来（一）傅立叶级数1、付氏三角级数如右图fT(t)是一个周期函数，非正弦，若加在激励端分析其响应是很困难的，可以用第十三章将非正弦信号分解为傅立叶三角级数。将其分解为f1(t)+f2(t)。f1(t)和f2(t)均为正弦信号可以分别求其响应，而后叠加得到fT(t)的响应。1.1sincos21000nnnTtnbtnaatf通常，一个周期为T的周期函数fT(t)，在[-T/2，T/2]上满足狄里赫利条件，总可以分解为如下的正弦函数的和：其中：T为周期函数fT(t)的周期；为基波角频率；T20tdtntfTbtdtntfTadttfTaTTTnTTTnTTT022022220sin2cos222、傅氏级数的指数形式2、傅氏级数的指数形式利用欧拉公式：sincosjejtjntjntjntjneezjtneetn00001sin21cos00或：式1.1可写为：10101000000000222222ntjnntjnnnnntjnnntjnntjntjnntjntjnnTececcjbaejbaeajeebeeaatf式中：1,2,3n1212122200222200dttfTacdtetfTjbacdtetfTjbacTTTjnTTTnnnjnTTTnnntt上式可合成为:32,,1,01022ndtetfTctjnTTTn故1.1可写为:1.20ntjnnTectf付氏级数的物理意义：用正弦函数的叠加来等效任意的非正弦周期函数。3、傅氏变换当周期函数fT(t)在所讨论的区间上满足狄里克利条件,fT(t)可展开为付氏级数：ntjnnTectf0dtetfTctjnTTTn0221其中：定义：令nω0=ω，则定义周期函数fT(t)的傅里叶变换为：dtetfcTFtjTTTnT22则FT(ω)傅立叶反变换为：tjnTTeFTtf1问题：我们遇到的大量的非周期函数怎么进行傅里叶变换呢？对于一个非周期函数f(t)，可以认为是周期函数fT(t)在T→∞时演变而来。当Δωn→无穷小时,频谱就成为连续的,但ＴCn仍可以是有限值（因为当T→∞时，Cn→无穷小），因而仍可定义TCn为非周期函数的付氏变换,因而对于非周期函数f(t)（相当于T→∞）有：deFtftftjTT21limdtetfFtj记为：tfFtftfFF11f(t)满足狄里克利条件2f(t)在(-∞,+∞)上绝对可积成立条件：4、付氏变换的物理意义：（1）把f(t)看成无穷多个0~∞频率、振幅为无穷小的正弦波的合成。F(ω)是频谱密度，也是单位频率所贡献的振幅。（2）非周期函数f(t)可表示成-∞~+∞频率的指数函数的连续和。（二）拉普拉斯变换（Laplace变换）1、问题的提出：付氏级数可以将一个非正弦的周期信号分解为若干个不同频率的正弦信号的叠加。付氏变换则可将时域里的信号[f(t)]表达式转换为频率的表达式（频域），从而方便了频谱分析。而我们在分析动态电路，尤其是高阶动态电路时，最困难的是解时域里的高阶微分方程。能否借鉴付氏变换的思路，利用数学工具将时域函数也进行一番变换，最后将时域里的高阶微分方程，变换成另一域里的代数方程以便于求解呢？①付氏变换说：存在付氏变换的条件：一是满足狄里克利条件（连续或有限个第一间断点，区间内收敛）；二是在(-∞,+∞)上可积，就一定存在古典意义下的付氏变换。但绝对可积的条件是很强的，许多函数，即使是很简单的函数（单位阶跃函数，正弦函数，余弦，以及线性函数等）都不满足这个条件。②其次，可以进行付氏变换的函数必须在整个自变量轴（时间轴）上有意义。但在物理、电子技术等实际应用中，许多以时间为自变量的函数往往在t0时无意义,或者根本不需要考虑。因此，付氏变换在实际应用中就受到一定限制。由此想到，能否将不满足以上条件的函数ψ(t)通过适当的改造，使其存在付氏变换（满足付氏变换的条件）呢？第一个想到的是ε(t)，另一个是指数衰减函数e-δt（δ0）。（1）ε(t)可以使在t＜0时的无意义变为有意义（均等于0）。因而可以使(-∞,+∞)区间变为[0,+∞)区间。（因为在(-∞,0)上值为0，不需考虑）。（2）e-δt可以使可能不可积的函数φ(t)变得绝对可积，最后改造好的函数为g(t)=ψ(t)·ε(t)·e-δt。只要δ选得合适，这个函数g（t）的付氏变换总是存在的。于是对ψ(t)乘以ε(t)和e-δt，再求付氏变换的运算，就产生了拉普拉斯变换。2、拉普拉氏变换00)()()()()(dtetfdtetfdteettGsttjtjt式中S=δ+jω——称为复频率——算子；f(t)=ψ(t)·ε(t)——实际上还是ψ(t)。上式运算实际上相当于对任意函数f(t)乘以e-st后在[0,+∞]上取积分。这个运算就是拉氏变换。此时Gβ(ω)的变量由ω转为s，可记为F（s）。若将f（t）的拉氏变换记为F(s)，则：dtetfsFst)()(0定义：一个定义在[0,+∞)区间上的函数f(t)，它的拉氏变换式为：0)()(dtetfsFst记作：F(s)=L[f(t)]数学上可记为[0,+∞]，电工中由于需要考虑δ(t)函数,而δ(t)又仅在[0-~0+]上有效，为了也能将δ(t)考虑在内,因此区间定为[0-~+∞)。拉氏反变换定义为：dsesFf(t)jcjcts1-)(j21[F(s)]L说明:(1)f(t)是时域里的函数；F(s)是复频域(s域)里的函数,与t无关；拉氏变换是从时域到复频域的变换,是唯一的。（2）式中s=δ+jω是复变量，称为复频率。ω——为虚变量，是振荡频率；δ——为实变量，是衰减系数。（3）变换条件：(拉氏变换存在定理)a.在t≥0时的任意区间上f(t)分段连续。b．当t→∞时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即总存在常数M0及C0,使下式成立：|f（t）|≤Mect。（0≤t＜+∞）满足条件a、b的f（t）的拉氏变换F（s）总存在：dtetfsFst0)()(习惯上称F(s)为f(t)的象函数；而称f(t)为F(s)的原函数。（三）例题1、求ε(t)的拉氏变换L[ε(t)]。解：sesdeesdtedtettLststststst1|11·1)()]([00002、求L[δ（t）]解：1)(0)()()]([000000·0dttdtdtetdtettLsst3、求L[ε(t-T)]解：sTTstTstTsteesdtedtdteTtTtLs1|110)()]([001)]([tLS1]tL[sTeTtS1][L由此可推出如下结论：如果f（t）→F（s），则f(t-T)·ε(t-T)→F(s)·e-sT。4、求eαt·ε(t)的拉氏变换。sesdtedteteteLtstssttt1|1)()]([0)(0)(0seft1F(s)(t)seft1F(s)(t)则指数衰减函数5、求L[sinωt]、L[cosωt])(sin|coscostcosstsin1|tsin1tsin1tsinF(s)t]L[sin222022020200000sFssdtetstesdetsdetdesesedsdtestststststststst2222202221tsin)()(F(s)t]L[sinsssdtesFsFssst22][sinstL同理可得：22][cossstL求拉氏变换式，都是利用定义式通过求积分得到，别无它法。工程上，常常将常用函数的拉氏变换事先求出来，制成一个对照表。见书上Page294的表格，使用时查表或背会了使用。但表格中能列出的总是有限的，这时可以利用拉氏变换的基本性质，由一个拉氏变换式推出另一个函数的拉氏变换。§14-2拉氏变换的基本性质一、唯一性：定义在[0，∞)区间上的时域函数f（t）与其在复频域上的象函数F（s）存在一一对应的关系。二、线性性质如果L[f1（t）]=F1(s)，L[f2（t）]=F2(s)，则L[A1f1(t)+A2f2(t)]=A1F1(s)+A2F2(s)例1、f(t)=Aε(t)－Aε(t-T)求F(s)。解：stetfLsFsAsAT)]-(tL[A-(t)]L[A)]([)(例2、f(t)=A(1-e-αt)ε(t)求L[f(t)]sAsFsA(t)]eL[A-(t)]L[A)(t-例3、f1（t）=sinωt，f2（t）=cosωt，求F1（s）和F2（s）。解：221s112j1)](21[][sin)(FjsjseejLtLstjtj222s1121)](21[][cos)(FsjsjseeLtLstjtj2222s][coss][sinstLtL三、微分性质：若某函数的象函数为：L[f(t)]=F(s)，则：])([dttdfL)0()(fsFs例4、求的象函数。)()(tdtdt解：stL1)]([1)0(1)]([sstL例5、已知：，求L[cosωt]。22][sinstL]sin1[][cosdttdLtL解：]0sin[122ss22][cossstL四、积分性质：若L[f(t)]=F(s)则：ssFdfLt)(])([0例6．求L[t]。sdtt1(t)]L[and)(0解：211][ssstL进一步可求得：322][stL321]21[stL1!][mmsmtL其中m为正整数五．延迟性质：如果L[f(t)]=F(s)则：sTesFTtTtfL)()]()([例7．求图示函数的象函数。解：)()()(2)(321TtTtTttfsTsTsTesesessF321112)(sTeTtS1][L回顾：六．位移性质：如果L[f(t)]=F(s)则：L[e－αt·f（t）]=F(s+α)。