高中数学几个重要的不等式2.1柯西不等式学案

§1柯西不等式1.1简单形式的柯西不等式1.2一般形式的柯西不等式1．认识柯西不等式的几种不同的形式，理解它们的几何意义，能证明柯西不等式的代数形式和向量形式．(重点、易混点)2．理解用参数配方法讨论柯西不等式一般情况的过程．(重点难点)3．能利用柯西不等式求特定函数的最值和进行简单的证明．(难点)[基础·初探]教材整理1简单形式的柯西不等式阅读教材P27～P28，完成下列问题．1．定理1对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式(a2＋b2)(d2＋c2)≥(ac＋bd)2是柯西不等式．()(2)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2，是柯西不等式，其中a，b，c，d为正数．()(3)在柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2中，a，b，c，d是任意实数．()【解析】柯西不等式中，四个数的组合是有对应顺序的，故(1)不对，(2)中，a，b，c，d可分别写成(a)2，(b)2，(c)2，(d)2，所以是正确的，(3)正确．【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2一般形式的柯西不等式阅读教材P29～P30“练习”以上部分，完成下列问题．1．定理2设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共线时，等号成立．2．推论设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“＝”成立．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？【解】不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]利用柯西不等式证明不等式(1)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax＋by|≤1；(2)设a，b，c为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2(a＋b＋c)．【精彩点拨】本题考查柯西不等式及证明不等式的基础知识，考查推理论证能力及代数式的变式能力．解答本题(1)可逆用柯西不等式，而解答题(2)需将a2＋b2，b2＋c2，a2＋c2增补，使其满足柯西不等式左边结构方可应用．【自主解答】(1)|ax＋by|＝ax＋by2≤a2＋b2x2＋y2＝1.(2)由柯西不等式得：a2＋b2·12＋12≥a＋b，即2a2＋b2≥a＋b.同理：2b2＋c2≥b＋c，2a2＋c2≥a＋c.将上面三个同向不等式相加得：2(a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2)≥2(a＋b＋c)，所以a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2≥2(a＋b＋c)．利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征：a2＋b2c2＋d2ac＋bd2，其中a，b，c，d∈R或a＋bc＋d\r(ac)＋\r(bd2，其中a，b，c，d为正数.找出待证不等式中相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需分析，增补特别是对数字的增补：如a＝1×a变形等.[再练一题]1．设a，b，c为正数，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.【证明】由柯西不等式ab2＋bc2＋ca2[(b)2＋(c)2＋(a)2]≥ab·b＋bc·c＋ca·a2.于是a2b＋b2c＋c2a(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.运用柯西不等式求参数范围已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式1x＋y＋1y＋z＋1z＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围.【导学号：94910029】【精彩点拨】“恒成立”问题需求1x＋y＋1y＋z＋1z＋x的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】1x＋y＋1y＋z＋1z＋x≤12xy＋12yz＋12zx＝121·zx＋y＋z＋1·xx＋y＋z＋1·yx＋y＋z≤122＋12＋12zx＋y＋z＋xx＋y＋z＋yx＋y＋z12＝32.故参数λ的取值范围是32，＋∞.此题也是通过构造转化应用柯西不等式，由此可见，应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理.[再练一题]2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的取值范围．【解】由柯西不等式得，(2b2＋3c2＋6d2)12＋13＋16≥(b＋c＋d)2，即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.由条件可得，5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，所以实数a的取值范围是[1,2]．[探究共研型]利用柯西不等式求最值探究1柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2是如何证明的？【提示】要证(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，只要证a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2，即证b2c2＋a2d2≥2abcd，只要证(bc－ad)2≥0.因为上式显然成立，故(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.探究2根据柯西不等式，下列结论成立吗？(1)(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d为非负实数)；(2)a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；(3)a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．【提示】成立．已知x2＋2y2＋3z2＝1817，求3x＋2y＋z的最小值．【精彩点拨】利用x2＋2y2＋3z2为定值，构造柯西不等式形式，再利用公式得出范围，求解最小值．【自主解答】(x2＋2y2＋3z2)32＋22＋132≥3x＋2y·2＋3z·132＝(3x＋2y＋z)2，∴(3x＋2y＋z)2≤(x2＋2y2＋3z2)·32＋22＋132＝12.∵－23≤3x＋2y＋z≤23，∴3x＋2y＋z的最小值为－23.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要保证取到等号成立的条件.[再练一题]3．若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点．【解】由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥425.当且仅当x3＝y4时“＝”成立，为求最小值点，需解方程组3x＋4y＝2，x3＝y4，∴x＝625，y＝825.因此，当x＝625，y＝825时，x2＋y2取得最小值，最小值为425，最小值点为625，825.[构建·体系]1．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为()A.13B．169C．13D．0【解析】(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，∴x2＋y2≥13.【答案】C2．已知a，b，c大于0，且a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2的最小值为()A．1B．4C.13D．12【解析】根据柯西不等式，有(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a＋b＋c)2＝1，∴a2＋b2＋c2≥13.【答案】C3．已知a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，t＝ax＋by＋cz，则t的取值范围是()A．(0,1)B．(－1,1)C．(－1,0)D．[－1,1]【解析】设α＝(a，b，c)，β＝(x，y，z)．∵|α|＝a2＋b2＋c2＝1，|β|＝x2＋y2＋z2＝1，由|α||β|≥|α·β|，得|t|≤1.∴t的取值范围是[－1,1]．【答案】D4．已知x，y＞0，1＋1x1＋1y的最小值为4，则xy＝________.【导学号：94910030】【解析】∵1＋1x1＋1y≥1·1＋1xy2＝1＋1xy2，∴1＋1xy2＝4，又xy＞0，∴xy＝1，∴xy＝1.【答案】15．已知3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤11.【证明】由柯西不等式得(2x＋y)2≤[(3x)2＋(2y)2]232＋122＝(3x2＋2y2)43＋12≤6×116＝11.于是2x＋y≤11.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a，b为正数，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是()A．P≤QB．P＜QC．P≥QD．P＞Q【解析】设m＝(ax，by)，n＝(a，b)，则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n|＝ax2＋by2·a2＋b2＝ax2＋by2·a＋b＝ax2＋by2，所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.即P≤Q.【答案】A2．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是()A.56B．65C.2536D．3625【解析】2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)12＋13·65≥652x·22＋3y·332＝65(x＋y)2＝65.【答案】B3．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，则1x＋4y＋9z的最小值为()A．24B．30C．36D．48【解析】(x＋y＋z)1x＋4y＋9z≥x·1x＋y·2y＋z·3z2＝36，∴1x＋4y＋9z≥36.【答案】C4．设x，y，m，n0，且mx＋ny＝1，则u＝x＋y的最小值是()A．(m＋n)2B．mC.nD．(m＋n)2【解析】根据柯西不等式，得x＋y＝(x＋y)·mx＋ny≥x·mx＋y·ny2＝(m＋n)2，当且仅当xm＝yn时，等号成立，这时u取最小值为(m＋n)2.【答案】A5．函数y＝x－5＋26－x的最大值是()A.3B．5C．3D．5【解析】根据柯西不等式，知y＝1×x－5＋2×6－x≤12＋22×x－52＋6－x2＝5.【答案】B二、填空题6．函数y＝x＋3－x的最大值为__________．【解析】由x，3－x非负且(x)2＋(3－x)2＝3，所以x＋3－x≤x2＋3－x2]＝2×3＝6.【答案】67．设x，y为正数，且x＋2y＝8，则9x＋2y的最小值为__________.【导学号：94910031】【解析】(x＋2y)9x＋2y＝[(x)2＋(2y)2]3x2＋2y2≥x·3x＋2y·2y2＝25，又x＋2y＝8，∴9x＋2y≥258.【答案】2588．设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，则a＋b＋cx＋y＋z＝________.【解析】由柯西不等式，得25×36＝(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302.当且仅当ax＝by＝cz＝k时取“＝”，由k2(x2＋y2＋z2)2＝25×36，解得k＝56，所以a＋b＋cx＋y＋z＝k＝56.【答案】56三、解答题9．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．【解】由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2.∵x＋2y＋z＝1，∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥13.当且仅当x＝2y＝z＝13，即x＝13，y＝16，z＝13时等号成立．故x2＋4y2＋z