胡海岩机械振动基础第二章课件

1第2章多自由度系统的振动2多自由度系统定义自由度数超过1但仍有限的力学系统。二自由度系统是多自由度系统的最简单情况。实际中的系统常常很难用单自由度运动来概括，多自由度的情况很多。如飞机在空中的刚体振动就有六个自由度，无法简化。舰船在海中受到波浪激励的响应要包括横摇、纵摇、偏摇、垂荡、纵荡、横荡等多个分量。因此进行多自由度的系统振动分析十分重要。3多自由度系统，其运动需要多个独立坐标描述。uk21k如图是一汽车的简化模型，车轮及悬架简化成刚度为k1和k2的两个弹簧，车体简化成为刚性杆。车体相对于随体坐标系的振动有沿u方向的上下运动，也有沿方向的俯仰运动，一般这两种运动同时发生。这样，系统的运动就要用两个独立坐标u和来描述，这就是一个二自由度系统。若考虑车体左右不等幅颠簸，就变为三自由度系统。平面内刚性杆的运动描述需两个自由度4无限自由度简化为多自由度EIKK简化为带有集中质量的弹性梁有限元52.1多自由度系统的振动方程t1u2u1kk23kc12c3cm1m2f1()t()f2u1u2u2k3uk11cu11m1m2()f1tt()2fk2()u-1u2u-()2ku12u-()2c2u1()u-2cu12uc32)()()()()()(22312223122221212112121111tfucuucukuukumtfuucucuukukum&&&&&&&&&&变量耦合的运动方程组考察图示的二自由度系统:600)0(,)0()()()()(uuuufKuuCuM&&&&&tttt2010212010212121322221213222212121)0()0(,)0()0(00uuuuuuuuffuukkkkkkuuccccccuumm&&&&&&&&&&矩阵描述：质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵；位移向量，激励力向量。7基本特征a.描述系统特性的M、K和C不再是三个常数，而是三个常数矩阵;（现象）b.系统中各自由度的运动是相互关联的，这反映在方程中矩阵M、K和C的非对角元素不为零。这种系统运动的相互关联称作耦合。这样的动力学方程组求解比较困难。（本质）由简至繁：先研究无阻尼系统振动。（固有振动——自由振动——受迫振动）82.2建立系统微分方程的方法（建模）单自由度系统是和容易通过牛顿定律和达朗贝尔原理建立动力学方程的。但对于自由度数较多的情况，建立正确的微分方程本身就是一件困难的事。需要找到一种规范化、程式化的建模方法。结构力学——刚度法、柔度法分析力学——拉格朗日法9刚度法和柔度法同一种方法的两个视角（影响系数）刚度法（单位位移法）考虑系统的弹性静力学性质。在系统各自由度上作用静力，使系统由静平衡位置产生静位移而。记这组特殊的静力为，其中是在第i个自由度上施加的静力。命，则共有N组这样的静力，我们称其为系统的刚度（影响）系数。1jujiui,0Nikij,,1,ijkNj,,1NjNikij,,1,,,1,由于系统是线性的，当第j个自由度有静位移、而其余自由度无位移时，系统诸自由度上应施加一组静力。一般地，若系统各自由度分别有静位移，根据线性系统的可叠加性质知，在系统上施加的静力应为：ujNiukfjiji,,1,Njuj,,1,10321333231232221131211321uuukkkkkkkkkfffKuFNjjijiNiukf1,,1,如设N=3，则有如设,则有312111333231232221131211321001kkkkkkkkkkkkfff注意jiijkkTu}001{（材料力学）11mutcutkutftiNijjjNijjjNijjjNi()()()(),,,1111)()()()(ttttfKuuCuM&&&对于动力学问题，还要考虑系统的惯性和阻尼。在有限大外力作用的瞬间，系统只产生加速度而来不及产生位移和速度。因此，可定义系统的质量系数,是使系统产生加速度而需在第i个自由度上施加的力。类似地，定义阻尼系数为，是为克服系统阻尼，使系统产生速度而需在第i个自由度上施加的力。Njimij,,1,,mij1jujiui,0Njicij,,1,,ijc1jujiui,0当系统受动载荷作用时，根据上述质量系数、阻尼系数、刚度系数的定义和达朗贝尔原理，可写出各自由度上的力平衡关系Nitfi,,1),(12建立方程的重要条件是系统的状态作用不相耦合与系统的线性特性13uuuukkkkkmmmmNNNfffNf121212312N1N1N11N例3.1.1建立图示N自由度链式系统的运动微分方程解：先计算刚度矩阵1m11k12k1f21111kkkf2212kkf2m12k2f14KkkkkkkkkkkkkkkkNNNNN1222233334100000000000000Nikfii2012m0ikif01ik刚度矩阵为15NNiNimmmmmmDiag00000000000000000000)(13211MDiagDiagonaljimmmijiii,0,111111mmmfNimfii201质量矩阵可用类似的过程得到16柔度法如果系统受外部约束而无刚体运动，系统的柔度系数定义为：在第j个自由度上施加单位静力时，第i个自由度所产生的静位移。321333231232221131211321fffddddddddduuuDFU312111333231232221131211321001dddddddddddduuujiddjiij（单位力法）其中:17NjjijiNifdu1,,1,当系统受动载荷作用时，根据达朗贝尔原理和质量系数、阻尼系数的定义，第j个自由度相当于受到静力Njtfj,,1),(NkkjkNkkjkjjtuctumtff11)()()(&&&由柔度系数的定义和线性系统的可叠加性质，第i个自由度的位移是NjNkkjkNkkjkjijituctumtfdtu111])()()([)(&&&)()()()(ttttDfuuDCuDM&&&18(1)刚度法实施过程中要求系统仅一个自由度有位移，人为地增加了确定刚度系数时系统的静不定程度，求解甚繁。一般不用。(2)柔度法维持原系统的约束，实施比较方便。特别是用实验来确定系统的弹性性质时均采用柔度法，刚度法几乎不能实现。(3)刚度矩阵和柔度矩阵均具有对称性。根据功的互易定理可以证明，这是线弹性系统的一般特性。两种方法的特点(4)如果系统具有刚体运动自由度，则在静力作用下会产生刚体位移。对这样的系统无法按照定义来确定柔度系数，柔度法失效；但刚度法可奏效。所以刚度法的应用范围比柔度法要大。19例用柔度法建立图中系统的运动微分方程。m1k111/k由上式知，问题在于建立系统的柔度矩阵D。按柔度系数的定义，先在上作用单位力，这时仅弹簧提供恢复力，各质量位移均为，故解：1m11uk11fNikdi,,1,111uuuukkkkkmmmmNNNfffNf121212312N1N1N11N20再在上作用单位力，其左面质量的位移为，其余质量位移均为，故m2m111/k1112kkNikkdkdi,,2,11,1212112依次分析下去得dknijijrrn11,min(,)最后将所得排为柔度矩阵D。取N=3为例3212112121111111111111111111kkkkkkkkkkkkkkDdij21例：梁的横向振动近似计算方程yxEI,l，M22112,2,mlkmlk1y2y用集中质量法可将梁系统简化为一个二自由度系统解：3,3221MmMm11f21d11d12f22d12d用单位力法计算柔度系数22EIldEIldEIldEIld3,485485,24322312321311各个柔度系数为：柔度矩阵为：16552483EIlD刚度矩阵为：25-5-167483lEIK质量矩阵为：21m00mM运动方程：0025-5-16748002132121yylEIyymm&&&&23单自由度刚度与质量的能量表示单自由度刚度与势能关系22umTe&2/2eVku22ddeVku单自由度质量与动能关系22udTdme24柔度影响系数与势能对多自由度系统位移－力与柔度影响系数推出NnnnNnnuFVV11211NnnjjjudF1112NNnjnjnjVdFFjnnjnjFFVd225刚度影响系数与势能对多自由度系统位移－力与刚度影响系数推出NnnnNnnuFVV1121jnnjnjuuVk2NjjnjnukF1NnNjjnnjuukV112126广义坐标结构位置（系统运动）的描述可以采用不同的独立坐标——广义坐标来完成。若坐标系之间存在线性变换关系，则称坐标系是可以相互线性映射的。称作线性变换矩阵。u[]uuNT1q[]qqNT1坐标1坐标2quuq1坐标线性变换27多自由度系统的能量jiNiNjijdefjiNiNjjkiknkkjNjjkiNiiknkknkkqqmqqqqmqqqqmmT&&&&&&&&11111111121)(21)()(21)(21rrrrrr021qMq&&TT系统的动能是各质点动能之和jkiknkkdefijqqmmrr1质量矩阵是对称矩阵。对于任意的运动，动能恒正，故质量矩阵总是正定矩阵。rrqiiin(),,,1质点的位置矢量:oirim动能二次型:NiiiNNNNqqrdtdqqrdtdqqrdtdqqrdtdrrdqqrdqqrdqqrdrqqqrr1221112211,21),,(其中:T28)()(21)(30112100qqqOqqqqVqqVVVjiNiNjjiNjjj在定常约束下，系统的势能仅仅是广义坐标q的函数。将势能用Taylor级数展开，有0V是系统在平衡位置的势能，可以是任意常数。取为零。iqV是系统在平衡位置的势能对广义坐标的一阶导数。因为系统的势能在平衡位置取极值，故其对广义坐标的一阶导数必为零。Vjq0jqjqjqV29)(21)()(2131130112qqqOqqkOqqqqVVjiNiNjijdefjiNiNjji021KqqTVNjNiqqVkjiij,,1,,,1,02qNkqVVk,,1,0,0)0(0q上述结论可表达为:是系统在广义坐标下的刚度系数。研究系统微振动时，只需取势能的二次近似。将刚度系数组