2020年高考理科数学《函数的定义与性质》题型归纳与训练

12020年高考理科数学《函数的定义与性质》题型归纳与训练【题型归纳】题型一求函数的定义域、值域例1（1）函数的定义域为()A.;B.；C.;D.（2）设，则的定义域为（）A.；B.；C.；D.【答案】（1）D；（2）B【解析】（1）欲使函数有意义，必须并且只需，故应选择（2）由得，的定义域为，故解得。故的定义域为.选B.【易错点】抽象函数的定义域【思维点拨】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。求复合函数定义域,即已知函数的定义为，则函数的定义域是满足不等式的x的取值范围；一般地，若函数的定义域是，指的是，要求的定义域就是时的值域。例2.已知函数)(xf)4323ln(122xxxxx),2[)4,()1,0()0,4(]1,0()0,4[,)1,0()0,4[,xxxf22lgxfxf224,00,44,11,42,11,24,22,4)(xf0043230430232222xxxxxxxxx)1,0()0,4[xD202xx()fx22x22,2222.xx4,11,4xxfxf224,11,4x()fx[,]ab[()]fgx()agxb[()]fgx[,]ab[,]xab()fx[,]xab()gxxaxxxf2)(2).,1[,x2（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意恒成立,试求实数的取值范围。【答案】（1）在区间上的最小值为（2）【解析】（1）当时，，。在区间上为增函数。在区间上的最小值为。（2）在区间上恒成立；在区间上恒成立；在区间上恒成立；函数在区间上的最小值为3，即【易错点】不会求函数的值域。【思维点拨】对于函数若，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，否则会得到而认为其最小值为，但实际上，要取得等号，必须使得，这时所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想；题型二函数图像例1(1)函数的图象大致是()21a)(xf[1,),()0xfxa)(xf),1[27)1(f3a21a2211)(',221)(xxfxxxf1x0)(xf)(xf),1[)(xf),1[27)1(f02)(2xaxxxf),1[022axx),1[axx22),1[xxy22),1[3a3a,221)(xxxf0x2222122)21()(xxxxxf22xx21),21[x|1|||lnxeyx3(2)设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好．．经过中两个点的函数的个数是（A）4（B）6（C）8（D）10(3)如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为()ABCD【答案】(1)D；(2)答案B(3)答案B【解析】(1)当时，，可以排除A和C；又当时，，可以排除B(2)当时，，可以排除A和C；又当时，，可以排除B(3)解析由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到211()log(),0,,1;1,0,122Pfxxabab11(,),0,,1;1,0,122QxyxyP()fxQ(,)PxyxOyx(,0)Qx()VVt1x1)1(xxy21x23y1x1)1(xxy21x23y(,)Pxy(,0)QxO()VttO()VttO()VttO()Vtt4负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选.【易错点】不能很好的领悟数形结合思想。【思维点拨】可以从特殊点、极限、定义域、值域、函数的性质角度思考例2求函数2222229931294fxxxxx的最小值．【答案】574f【解析】由于22222213343334xxfxxx…①令23xy，此为抛物线方程，其焦点为30,4F，准线方程为34y，记点3,4A，则①可以改写为2222133434fxxyxy，它表示为抛物线上的点,Mxy到点A与到焦点F的距离之和：13fMAMF，注意点A在抛物线的上方，由于点M到焦点的距离等于其到准线的距离：MFMH，故当点M移至1M使在垂线1AH上时，MAMH的值最小，为111319444AMMHAH，即11934f，所以574f．【易错点】不能很好的领悟数形结合思想。【思维点拨】因数配形。题型三函数的性质例1（1）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则()A.是偶函数B.是奇函数C.D.是奇函数（2）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有A(,)PxyD(,)Pxy(,0)QxCB()fx(1)fx(1)fx()fx()fx()(2)fxfx(3)fxM()fx12,xxR21xxYXHH1OAFMM15．下列结论中正确的是()A．若，，则B．若，，且，则C．若，，则D．若，，且，则【答案】（1）D；（2）C；【解析】（1）与都是奇函数，，函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D（2）对于，即有，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有．【易错点】函数性质掌握不够透彻【思维点拨】构造函数、特殊化、数形结合、推理论证例2.已知函数11811axfxaxxa，0x,．1．当8a时，求fx的单调区间；2．对任意正数a，证明：12fx．【答案】()fx在(0,1]中单调递增，而在[1,)中单调递减．【解析】1、当8a时，1131xfxx，求得3121xfxxx，于是当(0,1]x时，0fx；而当[1,)x时，0fx．即()fx在(0,1]中单调递增，而在[1,)中单调递减．212121()()()()xxfxfxxx1()fxM2()gxM12()()fxgxM1()fxM2()gxM()0gx12()()fxMgx1()fxM2()gxM12()()fxgxM1()fxM2()gxM1212()()fxgxM(1)fx(1)fx(1)(1),(1)(1)fxfxfxfx()fx(1,0)(1,0)()fx2[1(1)]4T(14)(14)fxfx(3)(3)fxfx(3)fx212121()()()()xxfxfxxx2121()()fxfxxx2121()()fxfxkxxk1()fxM2()gxM11,fk22gk1212fgkk12()()fxgxM6（2）.对任意给定的0a，0x，由111()1181fxxaax，若令8bax，则8abx…①，而111111fxxab…②（一）、先证1fx；因为1111xx，1111aa，1111bb，又由42222428abxabxabx，得6abx．所以111111111111fxxabxab32()()(1)(1)(1)abxabaxbxxab9()()(1)(1)(1)abxabaxbxxab1()()1(1)(1)(1)abxabaxbxabxxab．（二）、再证2fx；由①、②式中关于,,xab的对称性，不妨设xab．则02b（ⅰ）、当7ab，则5a，所以5xa，因为111b，11211115xa，此时1112111fxxab．（ⅱ）、当7ab……③，由①得,8xab，181ababx，因为22211[1]114(1)2(1)bbbbbbb所以112(1)1bbb……④同理得112(1)1aaa……⑤，于是1222118ababfxabab……⑥今证明2118abababab……⑦,因为211(1)(1)abababab，只要证(1)(1)8abababab，即8(1)(1)abab，也即7ab，据③，此为显然．因此⑦7得证．故由⑥得()2fx．综上所述，对任何正数a,x，皆有12fx．【易错点】函数性质掌握不够透彻【思维点拨】构造函数、特殊化、数形结合、推理论证【巩固训练】题型一求函数的定义域和值域1.设表示不超过的最大整数（如,）,对于给定的N*,定义,求当时，函数的值域【答案】【解析】；当时，，，因为函数在上是减函数，得；当时，，，因为，由单调性得，故当时，函数的值域是2.设函数，则函数的定义域是【答案】【解析】由得，的定义域为。故解得或。3.求函数22()10968256fxxxxx的最大值．][xx2]2[1]45[n(1)(1),(1)(1)xnnnnxCxxxxx1,x3,32xC8]28,328(]316,4(]28,328(]316,4()2,23[x1][xxCx88xu8)2,23[31684x)3,2[x2][x)1(568xxCx6)1(2xx28)1(56328xxx3,32xC8]28,328(]316,4(xxxf22ln)()1()2()(xfxfxg)4,21()21,4(022xx()fx22x212222xx214x421x8【答案】最大值335．【解析】()(1)(9)(4)(64)fxxxxx，则定义域为49x．为了从两个根式中移出相同的常数，注意(1)(64)63xx，即2216416363xx，令1cos63x，64sin63x，为锐角，又由(4)(9)5xx，即2249155xx，令4sin5x，9cos5x，为锐角；所以163cos,95cosxx，6463sin,x45sinx，于是，()335coscossinsin335cos()335fx，当时