勾股定理专题(附答案,全面、精选)

初中数学第1页勾股定理一、探索勾股定理【知识点1】勾股定理定理内容：在RT△中，勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角典型题型1、对勾股定理的理解（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（）A、c²-a²=b²B、c²-b²=a²C、a²-c²=b²D、a²+b²=c²（2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（）A、BC²-AB²=AC²B、BC²-AC²=AB²C、AB²+AC²=BC²D、AC²+BC²=AB²2、应用勾股定理求边长（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10cm,BC=8cm,求AC的长.（4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足√α2−6α+9+|b−4|=0，则该直角三角形的斜边长为．3、利用勾股定理求面积（5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。（6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为。（7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x=,y=。（8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（）A、6B、8C、10D、12（9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是SS12、、SSSSSS341234、，则=_____________。【知识点2】勾股定理的验证推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。（等积法）拼图法推导一般步骤：拼出图形---找出图形面积的表达式---恒等变形—推出勾股定理。（10）用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图拼法。问题：你能用两种方法表示下图的面积吗？对比两种不同的表示方法，你发现了什么？（11）用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按下图拼法，论证勾股定理：222cba3、运用勾股定理进行计算（重难点）（12）如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高？初中数学第2页257（13）两棵之间的距离为8m，两棵树的高度分别为8m、2m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？【基础检测】1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝13，BC＝5，则AC的长为（）A.5B.12C.13D.182、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若14bacm，10ccm，则Rt△ABC的面积为（）A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm23、若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c=；（2）若a=6，c=10，则b=；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a=，b=。4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为。（不取近似值）5、一个直角三角形的斜边为20cm,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长。6、一个长为10m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m后，底端向外滑动了多少米？【培优突破】1、折叠问题（1）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A、4cmB、5cmC、6cmD、10cm（2）如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求线段EC的值2、运用勾股定理解决生活中的实际问题（3）如图，为了测得小水坑两边A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90°，并测得AC=20m，BC=16m,则A、B两点之间的距离是对少?3、分类讨论（已知直角△的两边，求第三边）（4）在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，则BC的值为（）A、25B、7C、25或7D、不能确定（5）已知3,4，a是一个三角形的三边长，若三角形为直角三角形，则2a的值是多少？（6）在直角△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，则BC的值为多少？4、利用方程解题（7）如图，△ABC中，∠C=90°，D是BC上的一点，已知BD=7，AB=20，AD=15，求AC的长.初中数学第3页（8）如图，已知△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长。【培优训练】一、选择题1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A、365B、1225C、94D、3√342．若三角形ABC中，∠A：∠B：∠C=2：1：1，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列等式中，成立的是（）A．a2+b2=c2B．a2=2c2C．c2=2a2D．c2=2b23．如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．若OD=8，OP=10，则PE的长为（）A、5B、6C、7D、84．如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（）A、16B、15C、14D、135．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）A、1B、34C、23D、26．已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A、21B、15C、6D、以上答案都不对7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已知BC=8，AC=6，则斜边AB上的高是（）A、10B、5C、524D、5128．如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是（）A、25cmB、23cmC、24cmD、25cm9．张大爷离家出门散步，他先向正东走了30m，接着又向正南走了40m，此时他离家的距离为（）mA．30B．40C．50D．7010．如图在△ABC中∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=64，且BD：CD=9：7，则点D到AB边的距离为（）A、18B、32C、28D、2411．如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（）A、①②B、①②③C、①②④D、①②③④二．填空题（共2小题）12．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=_____cm．13．如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是_________．14、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。初中数学第4页二、勾股定理的逆定理【知识点3】勾股定理的逆定理（1）如果△的三边α，b,c满足关系满足，则该△为直角三角形。（2）△的三边α，b,c，假设c为最长边①𝑎2+𝑏2𝑐2，则该△为三角形②𝑎2+𝑏2𝑐2，则该△为三角形（3）勾股定理逆定理的用途典型题（1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，17（2）若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶7（3）下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（）个．A．1B．2C．3D．4（4）若三角形的三边之比为√22：1√2：1，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等边三角形（5）已知a，b，c为△ABC三边，且满足（𝑎2−𝑏2）（𝑎2+𝑏2−𝑐2）=0则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形（6）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()A．钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形（7）若△ABC的三边长分别长a,b,c，且满足𝑎2+𝑏2+𝑐2+200=12α+16b+20𝑐,试判断△ABC的形状。（8）△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形为。（9）求：①若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。②已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为。【知识点4】勾股数（1）勾股数是正整数（2）满足的关系条件𝑎2+𝑏2=𝑐2（3）勾股数的n倍（n≠0），仍然满足𝑎2+𝑏2=𝑐2（4）常见勾股数三、勾股定理的应用1、与图形展开的有关计算（注意展开方式）（1）某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．（2）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．（3）如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cmAB初中数学第5页（4）国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．2、航海问题（1）一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里（2）如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。（3）如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km.①那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？②如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？3、网格问题（1）如图1，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）A．0B．1C．2D．3（2）如图2，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）A.、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、以上答案都不对（3）如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是()A．25B.12.5C.9D.8.5（4）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：①使三角形的三边长分别为3、√8、√5（在图甲中画一个即可）；DBCA初中数学第6页②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．4、折叠问题（1）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（）A.425B.322C.47D.35（2）如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长．（3）如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存