清华机械工程控制基础课件第二章 数学模型

2020/3/17机械工程●学时与学分：40/2.5●基本教学内容与学时安排一．绪论4学时二．自动控制系统的数学模型6学时三．时间响应分析8学时四．频率特性分析8学时五．系统的稳定性8学时六．系统的性能指标与校正4学时2020/3/17机械工程二、自动控制系统的数学模型2.0基本概念2.1系统的微分方程2.2Laplace变换及系统传递函数2.3系统的传递函数方框图及其简化2.4反馈控制系统的传递函数2.5相似原理2020/3/17机械工程2.0基本概念1)建立数学模型的意义(1)可定性地了解系统的工作原理及其特性;(2)更能定量地描述系统的动态性能;(3)揭示系统的内部结构、参数与动态性能之间的关系。2)系统数学模型的形式（1）最基本形式是微分方程,它在时域中描述系统(或元件)动态特性；（2）传递函数形式，它极有利于对系统在复数域及频域进行深入的研究、分析与综合。2020/3/17机械工程3)数学模型的建立方法建立系统数学模型有两种方法：分析法和实验法,本章仅就分析法进行讨论。(1)分析法:根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数学表达式，从而建立数学模型。(2)实验法:对于复杂系统，需要通过实验，并根据实验数据，拟合出比较接近实际系统的数学模型。2020/3/17机械工程4)线性系统与非线性系统定义：描述系统的输入和输出之间动态关系的微分方程，如2.0.1如果系数均为常数，则式(2-1)为线性定常微分方程，简称常微分方程。相应的动态系统称为线性定常系统。大多数物理系统均属于这一类，这是我们研究的重点。若是时间t的函数，则该方程为线性时变的，相应的系统也称为线性时变系统；例如，宇宙飞船控制系统便是一个时变系统，因为随着宇宙飞船上燃料的消耗，飞船质量发生变化，而且当飞船远离地球后，重力也在发生变化。()()()...1010()()()()()2.0.1mnnooomiiiaxtaxtaxtbxtbxtbxt(0,1,2,,),(0,1,2,,)ijainbjm,ijab2020/3/17机械工程若中有系数依赖于或它们的导函数，或者，在微分方程中出现t的其他函数形式，则该方程就是非线性的，相应的系统也称为非线性系统，下面模型是非线性的。线性及非线性这一特性并不随系统的表示方法而改变，它是系统本身的固有特性。线性系统与非线性系统的根本区别在于：线性系统满足叠加原理，而非线性系统则不满足叠加原理。线性化：为了分析研究非线性系统，在一定范围内将一些非线性因素忽略，近似地用线性数学模型来代替，这便是所谓数学模型的线性化。本质非线性系统：例如电气系统中某些元件存在继电特性、饱和、死区和磁滞等现象，只能采取非线性方法进行分析与设计。这方面内容，本课程不作要求。,ijab(),()ixtxt2()()()()()ooooixtxtxtxtxt2020/3/17机械工程2.1系统的微分方程一．用分析法（解析法）列写微分方程的一般方法(1)确定系统或各元件的输入、输出变量。系统的给定输入量或扰动输入量都是系统的输入量，而被控制量则是输出量；(2)进行适当的简化，忽略次要因素；(3)从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理，列写出在运动过程中的各个环节的动态微分方程；(4)消除中间变量，写出只含有输入、输出变量的微分方程；(5)标准化。整理所得微分方程，输出量降幂排列＝输入量降幂排列一般将与输出量有关的各项放在方程左侧，与输入量有关的各项放在方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。2020/3/17机械工程例1图示为两个形式相同的RC电路串联而成的滤波网络，试写出以输出电压和输入电压为变量的滤波网络的微分方程。解：列写系统微分方程(1)输入:电压输出:电压中间变量(1)简化(3)根据克希荷夫定律，可写出下列原始方程式：1,2ii2u1u1部件的数学模型2020/3/17机械工程电路分析的基本方法----克希荷夫定律(1)克希荷夫第一定律(克希荷夫电流定律KCL)：在电路任何时刻，对任一结点，所有支路电流的代数和恒等于零，即流出结点的取+号，流入结点的取-号。N为支路数。(2)克希荷夫第二定律(克希荷夫电压定律KVL)：在电路任何时刻，沿任一回路，所有支路电压的代数和恒等于零，即电压的参考方向与指定的绕行方向一致的取+号，相反的取-号。N为支路数。也写为基尔霍夫定律2020/3/17机械工程222122111()iRidtiidtCC2221idtuC(4)消去中间变量式（2.1.1）就是系统的微分方程。2221122112212212()(2.1.1)duduRCRCRCRCRCuudtdt1112111()iRiidtuC2020/3/17机械工程注意虽然电路又两个RC电路所组成，但不能把它看作两个独立的RC电路的连接。因为第二级电路的i2要影响第一级电路的u1，列写方程式应考虑这个影响。这种后一级对前一级的影响叫做负载效应。存在负载效应时，必须把全部元件作为整体加以考虑。本例如果不考虑负载效应时，有：第一级：第二级：消去中间变量得到：显然与前面得到的结果不同。2020/3/17机械工程例2图示为电枢控制式直流电机原理图，设为电枢两端的控制电压，为电机旋转角速度，为折合到电机轴上的总的负载力矩。当激磁不变时，用电枢控制的情况下，为给定输入，为干扰输入，为输出。系统中为电动机旋转时电枢两端的反电势；为电动机的电枢电流；为电动机的电磁力矩。auLMauLMaiM2020/3/17机械工程(1)输入变量为电压；输出变量为电机旋转角速度;中间变量;(2)根据克希荷夫定律，电机电枢回路的方程为式中，L，R分别为电感与电阻。当磁通固定不变时，与转速成正比，即式中，为反电势常数。这样（2.1.5）式为根据刚体的转动定律，电动机转子的运动方程为aadadiLiReudt(2.1.5)ddekaadadiLiRkudtLdJMMdt(2.1.6)(2.1.7)deaLuM、adie、dk2020/3/17机械工程式中，J为转动部分折合到电动机轴上的总的转动惯量。当激磁磁通固定不变时，电动机的电磁力矩与电枢电流成正比。即式中，km为电动机电磁力矩常数（3）消除中间变量将（2.1.8）式代入（2.1.7）式得上式略去了与转速成正比的阻尼力矩。应用（2.1.6）式和（2.1.9）式消去中间变量ia，可得令，则上式为式（2.1.11）即为电枢控制式直流电动机的数学模型。由式可见，转速ω既由ua控制，又受ML影响。maMki(2.1.8)maLdJkiMdt(2.1.9)221LaLdmdmddmdmdMddLJRJLRuMkkkkkkkkkdtdtdt(2.1.10),(),1,admmddmmLRTRJkkTkCTJC22LammdamamLdMddTTTCuCTCMdtdtdt(2.1.11)2020/3/17机械工程二．微分方程的增量化表示前面从数学角度讨论了系统的模型。下面是考虑工程实际进一步讨论模型。(1)电动机处于平衡状态，变量各阶导数为零，微分方程变为代数方程：此时，对应输入输出量可表示为：则有这就是系统的稳态。damLCuCM（2.1.12）0aauu0LLMM0000damLCuCM（2.1.13）2020/3/17机械工程（2）系统的稳态并不能长期稳定，闭环控制系统的任务就是要系统工作在稳态。当输入量发生变化时，输出量相应变化，输入输出量可以记为：则式（2.1.11）可记为：考虑到，上式可变为2.14式的意义是：对于定值控制系统，总是工作在设定值即稳态或平衡点附近，将变量的坐标原点设在该平衡点，则微分方程转换为增量方程，它同样描述了系统的动态特性，但它由于不考虑初始条件，求解及分析时方便了许多。000damLCuCM22LammdamamLdMddTTTCuCTCMdtdtdt(2.1.14)20000002()()()()()()LLammdaamamLLdddMMTTTCuuCTCMMdtdtdt0aaauuu0LLLMMM02020/3/17机械工程2控制系统微分方程的建立3线性定常微分方程的求解初值定理：终值定理:例：例：2020/3/17机械工程三．非线性微分方程的线性化某些非线性系统，可以在一定条件下，进行线性化。图2.1.3是一个液压伺服系统，下面通过它讨论线性化问题。2020/3/17机械工程(1)输入变量为阀心位移x；输出变量为活塞位移y;中间变量(2)按照液压原理建立动力学方程负载动力学方程为流量连续性方程为q与p一般为非线性关系mycyAppq、qAy(,)qqxp(2.1.15)(2.1.16)(2.1.17)2020/3/17机械工程（3）线性化处理将(2.17)在工作点领域做泰勒展开，当偏差很小时，可略去展开式的高阶项，保留一次项，并取增量关系，有：式中则(2.18)可以写成当系统在预定工作条件，，下工作即分别为q,x,p,故（2.1.19）可以写为0000(,)(,)()()ooxxxxppppqqqqxpqxpxpxp(2.1.18)0xxx0pppqcqKxKp(2.1.19)00(,)0qxp00x00p,,qxpqcqKxKp(2.1.20)2020/3/17机械工程（4）消除中间变量由(2.20)可得整理后可得线性化后的动力学方程为：1()qcpKxqK2()qccAKAmycyxKK(2.1.21)(2.1.22)2020/3/17机械工程图2.1.4q,p,x三者线性关系2020/3/17机械工程小偏差线性化时要注意以下几点：（1）必须明确系统工作点，因为不同的工作点所得线性化方程的系数不同。本题中参数在预定工作点的值均为零（2）如果变量在较大范围内变化，则用这种线性化方法建立的数学模型，在除工作点外的其它工况势必有较大的误差。所以非线性模型线性化是有条件的，即变量偏离预定工作点很小。（3）如果非线性函数是不连续的（即非线性特性是不连续的），则在不连续点附近不能得到收敛的泰勒级数，这时就不能线性化。（4）线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。2020/3/17机械工程2.2系统传递函数传递函数是经典控制理论最基本的数学工具。1.微分方程转化传统函数：将实数域中的微分、积分运算化为复数域中的代数运算，简化了分析、设计中的计算工作量。2.传统函数导出频率特性：在频域对系统进行分析和设计.一.定义输入、输出的初始条件为零，线性定常系统（环节或元件）的输出的Laplace变换与输入的Laplace变换之比，称为该系统（环节或元件）的传递函数G(S)。()ixt0()Xs0()xt()iXs2020/3/17机械工程数学说明：线性定常系统微分方程如下：输入、输出的初始条件均为零时，作Laplace变换可得：由定义可得：将式（2.2.3）画成方框图，如图2.2.1所示。图2.2.1系统框图则：(2.2.4)1111011011()()()(),nnmmnnomminnmmddddddaaaaxtbbbbxtdtdtdtdtdtdt(2.2.1)111100110()()()()nnmmnnmmiasasasaXsbsbsbsbXs(2.2.2)110101110[()]()(),.[()]()mmmmsnniinnsLxtbsbsbbXsGsnmLxtXsasasaa(2.2.3)()Gs()iXs()oXs()()()iXsGsXs2020/3/17机械工程二.零点、极点和放大系数G(s)因式分解：K为常数当